П.А. Кузнецов. Аналитические диффузионные волны в нелинейной параболической модели "хищник - жертва" ... С. 158-167

УДК 517.957, 51-76

MSC: 35K40, 35K51, 35K65

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-158-167

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ (проект № 20-07-00407 А); РФФИ и Правительства Иркутской области (проект № 20-41-385002).

В настоящей статье рассмотрена система двух нелинейных вырождающихся параболических уравнений, которые представляют собой нелинейные аналоги уравнения Фишера — Колмогорова — Петровского — Пискунова. Данная система лежит в основе математической модели “хищник — жертва”. Интересной ее особенностью является существование решений типа диффузионных (тепловых, фильтрационных) волн, распространяющихся по нулевому фону с конечной скоростью. Такое поведение решений несвойственно линейным системам и в нелинейном случае объясняется наличием вырождения. В работе для указанной системы рассмотрена задача о построении диффузионной волны по заданному фронту. Доказана теорема существования и единственности кусочно-аналитического решения задачи. Доказательство носит конструктивный характер: решение построено в виде степенных рядов с рекуррентно определяемыми коэффициентами, локальная сходимость доказана методом мажорант. Полученные результаты выполнены в традициях научной школы академика А. Ф. Сидорова, для которой, в частности, характерно использование метода рядов для решения параболических задач с вырождением. Отметим, что подобные исследования ранее проводились для одиночных уравнений, а также для систем типа “реакция — диффузия”, более простых по своей структуре, нежели рассматриваемая здесь. Последнее делает невозможным автоматическое перенесение ранее полученных результатов и накладывает свой отпечаток как на построение решения, так и на доказательство сходимости. Сходимость локальна, однако некоторое представление о поведении решения вне области сходимости могут дать полученные точные решения типа бегущей волны. При построении произведена редукция исходной задачи к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Указанную систему удалось проинтегрировать в квадратурах, решения выписаны в явном виде. Полученные формулы в дальнейшем могут быть использованы для верификации численных расчетов.

Ключевые слова: нелинейная параболическая система с вырождением, модель “хищник — жертва”, диффузионная волна, теорема существования, степенные ряды, метод мажорант, точные решения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Perthame B. Parabolic equations in biology. Growth, reaction, movement and diffusion. Cham: Springer, 2015. 199 p.

2.   Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Ann. Eugenics. 1937. Vol. 7, no. 4. P. 353–369. doi: 10.1111/j.1469-1809.1937.tb02153.x 

3.   Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Математика и механика. 1937. Т. 1, вып. 6. С. 1–26.

4.   Achouri T., Ayadi M., Habbal A., Yahyaoui B. Numerical analysis for the two-dimensional Fisher–Kolmogorov–Petrovski–Piskunov equation with mixed boundary condition // J. Appl. Math. Comp. 2021. No. 1. P. 1–26. doi: 10.1007/s12190-021-01679-7 

5.   Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Уравнение Колмогорова — Петровского — Пискунова с запаздыванием // Моделирование и анализ информ. систем. 2015. Т. 22, № 2. С. 304–321. doi: 10.18255/1818-1015-2015-2-304-321 

6.   Viguerie A. et al. Diffusion–reaction compartmental models formulated in a continuum mechanics framework: application to COVID-19, mathematical analysis, and numerical study. Comput. Mech., 2020, vol. 66, no. 5, pp. 1131–1152. doi: 10.1007/s00466-020-01888-0 

7.   Murray J.D. Mathematical biology II: Spatial models and biomedical applications. NY: Springer, 2003. 837 p. (Interdisciplinary Appl. Math.; vol. 18). doi: 10.1007/b98869 

8.   Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987. 480 с.

9.   Зельдович Я.Б., Райзер Ю.П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М.: Физматлит, 1966. 632 с.

10.   Баренблатт Г.И., Ентов В.Н., Рыжик В.М. Движение жидкостей и газов в природных пластах. М.: Недра, 1984. 211 с.

11.   Сидоров А.Ф. Избранные труды: Математика. Механика. М.: Физматлит. 2001. 576 с.

12.   Баутин С.П. Аналитическая тепловая волна. М.: Физматлит. 2003. 88 с.

13.   Казаков А.Л., Лемперт А.А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, № 1. С. 57–68.

14.   Казаков А.Л. О точных решениях краевой задачи о движении тепловой волны для уравнения нелинейной теплопроводности // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Т. 16. С. 1057–1068. doi: 10.33048/semi.2019.16.073 

15.   Filimonov M.Yu., Korzunin L.G., Sidorov A.F. Approximate methods for solving nonlinear initial boundary-value problems based on special construction of series // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling, 1993, vol. 8, no. 2, pp. 101–125. doi: 10.1515/rnam.1993.8.2.101 

16.   Казаков А.Л., Кузнецов П.А. Об аналитических решениях одной специальной краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности в полярных координатах // Сиб. журн. индустр. математики. 2018. Т. 21, № 2 (74). С. 56–65.

17.   Kazakov A.L., Kuznetsov P.A., Lempert A.A. Analytical solutions to the singular problem for a system of nonlinear parabolic equations of the reaction-diffusion type // Symmetry. 2020. Vol. 12, no. 6. Art. no. 999. doi: 10.3390/sym12060999 

18.   Казаков А.Л., Кузнецов П.А., Спевак Л.Ф. Построение решений краевой задачи с вырождением для нелинейной параболической системы // Сиб. журн. индустр. математики. 2021. Т. 24, № 4 (88). С. 64–78. doi: 10.33048/SIBJIM.2021.24.405 

19.    Васин В.В., Акимова Е.Н., Миниахметова А.Ф. Итерационные алгоритмы ньютоновского типа и их приложения к обратной задаче гравиметрии // Вестн. ЮУрГУ. Сер.: Математическое моделирование и программирование. 2013. Т. 6, № 3. С. 26–37

20.   Короткий А.И., Стародубцева Ю.В. Моделирование прямых и обратных граничных задач для стационарных моделей тепломассопереноса. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2015. 168 с.

21.   Коврижных О.О. О построении асимптотического решения нелинейного вырождающегося параболического уравнения // Журн. вычисл. мататики и мат. физики. 2003. Т. 43, №. 10. С. 1487–1493.

22.   Filimonov M.Yu. Representation of solutions of boundary value problems for nonlinear evolution equations by special series with recurrently caculated coefficients // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1268. Art. no. 012071. doi: 10.1088/1742-6596/1268/1/012071 

23.   Казаков А.Л., Кузнецов П.А., Спевак Л.Ф. Об одной краевой задаче с вырождением для нелинейного уравнения теплопроводности в сферических координатах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 119–129.

24.   Казаков А.Л., Орлов Св.С., Орлов С.С. Построение и исследование некоторых точных решений нелинейного уравнения теплопроводности // Сиб. мат. журн. 2018. Т. 59, № 3. С. 544–560.

25.   Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: МЦНМО, 2012. 344 с.

26.   Васин В.В., Сидоров А.Ф. О некоторых методах приближенного решения дифференциальных и интегральных уравнений // Известия вузов. Математика. 1983. № 7. C. 13–27.

27.   Kedrin V.S., Arguchintsev A.V., Dobrinets I.M. Mechanisms of polymorphic systematization of bioecological data within the BaikalIntelli platform for organizing computational models of population dynamics // Journal of Physics: Conference Series. 2021. Vol. 1847. Art. no. 012029. doi: 10.1088/1742-6596/1847/1/012029 

Поступила 9.03.2022

После доработки 24.03.2022

Принята к публикации 27.03.2022

Кузнецов Павел Александрович
канд. физ.-мат. наук
младший науч. сотрудник
Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова СО РАН
г. Иркутск
e-mail: kuznetsov@icc.ru

Ссылка на статью: П.А. Кузнецов. Аналитические диффузионные волны в нелинейной параболической модели "хищник - жертва" // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 158-167

English

P.A. Kuznetsov. Analytic diffusion waves in a nonlinear parabolic "predator–prey" model

We consider a system of two nonlinear degenerate parabolic equations that are nonlinear generalizations of the Fisher–Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov equation. This system is the basis for the predator–prey mathematical model. Its interesting peculiarity is that it has solutions of the diffusion (heat, filtration) wave type propagating over a zero background with a finite velocity. This peculiarity is a consequence of nonlinear degeneracy. We consider the problem of constructing a diffusion wave of the system that has a known law of front motion. A theorem of existence and uniqueness of a piecewise analytic solution is proved. The proof is constructive: we find a solution in the form of power series and give recursive formulas for the coefficients. The local convergence is proved by the majorant method. The obtained results follow the tradition of Academician A. F. Sidorov’s scientific school to use the power series method to solve degenerate parabolic problems. Note that similar studies were previously conducted for single equations, as well as for reaction–diffusion systems that were significantly simpler in structure than the one mentioned above. The increased complexity makes it impossible to automatically transfer the earlier results to the case under consideration and affects both the construction of the solution and the proof of convergence. The convergence is local, but the obtained exact solutions of traveling wave type can illustrate the behavior of the solution outside the convergence domain. In order to construct the solution, we reduce the original problem to the Cauchy problem for a system of ordinary differential equations. This system is integrated in quadratures, and its solutions are written explicitly. The obtained formulas may be used to verify numerical calculations.

Keywords: nonlinear degenerate parabolic system, predator–prey model, diffusion wave, existence theorem, power series, majorant method, exact solutions

Received March 9, 2022

Revised March 24, 2022

Accepted March 27, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-07-00407 A) and jointly by the Russian Foundation for Basic Research and the Government of the Irkutsk oblast (project no. 20-41-385002).

Pavel Alexandrovich Kuznetsov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, Irkutsk, 664033 Russia, e-mail: kuznetsov@icc.ru

Cite this article as: P.A. Kuznetsov. Analytic diffusion waves in a nonlinear parabolic “predator–prey” model. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 158–167.

[References -> on the "English" button bottom right]