А.И. Короткий, И.А. Цепелев, A.T. Исмаил-Заде. Ассимиляция данных о свободной поверхности потока жидкости для нахождения ее вязкости ... С. 143-157

УДК 517.977

MSC: 35Q30, 76D05, 76T10, 76T15

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-143-157

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ) и Немецкого научного фонда (DFG) (гранты РФФИ № 20-51-12002, DFG IZ203/14-1).

Рассматривается модель течения вязкой двухфазной несмешивающейся несжимаемой жидкости и решается обратная задача для нахождения вязкости этой жидкости по известному местоположению ее свободной поверхности. Математическая модель сводится к решению задачи, описываемой уравнением Навье — Стокса в поле силы тяжести, уравнением несжимаемости, уравнением адвекции границы раздела двух фаз, а также соответствующими начальными и граничными условиями. Плотность и вязкость жидкости зависят от пространственной координаты и времени. Рассматриваемая задача является некорректной, т. е. малые погрешности в задании исходных данных и вычислительные погрешности могут привести к большим погрешностям в результате решения задачи. Для численного моделирования таких задач требуется применение специальных методов, которые гарантируют устойчивость вычислительного процесса по отношению к этим погрешностям. Цель данной работы состоит в построении методов и алгоритмов устойчивого численного моделирования рассматриваемой обратной задачи. Для решения обратной задачи предлагается воспользоваться вариационным методом и заменить исходную задачу экстремальной задачей на минимум подходящего функционала невязки между замерами местоположения свободной поверхности жидкости и ее местоположением, полученным в результате решения специально построенной управляемой динамической системы. Искомое решение такой экстремальной задачи последовательно приближается решениями финально-краевых задач управления для сопряженной системы, которая представляет градиент целевого функционала. Одной из трудностей такого подхода является численное моделирование задач управления ввиду их нелинейности. Для минимизации функционала невязки могут применяться некоторые варианты градиентных методов. Градиент функционала невязки и шаг спуска по антиградиенту определяются аналитически, что позволяет существенно с ократить объем вычислений.

Ключевые слова: вязкая жидкость; несжимаемая жидкость; двухфазная жидкость; обратная задача; функционал невязки; вариационный метод; метод градиентного спуска

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Jacobs C.T., Collins G.S., Piggott M.D., Kramer S.C., Wilson C.R.G. Multiphase flow modelling of volcanic ash particle settling in water usin adaptive unstructured meshes // Geophysical J. Intern. 2013. Vol. 192, iss. 2. P. 647–665. doi: 10.1093/gji/ggs059 

2.   Tsepelev I., Ismail-Zadeh A., Melnik O. 3D numerical modelling of the Summit Lake lava flow, Yellowstone, USA // Izv. Phys. Solid Earth. 2021. Vol. 57, no. 2. P. 257–265. doi: 10.1134/S1069351321020129 

3.   Zeinalova  N., Ismail-Zadeh A., Melnik O., Tsepelev I., Zobin V. Lava dome morphology and viscosity inferred from data-driven numerical modeling of dome growth at Volcán de Colima, Mexico during 2007–2009 // Front. Earth Sci. 2021. Vol. 9, article no. 735914. doi: 10.3389/feart.2021.735914 

4.   Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 652 p.

5.   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

6.   Prosperetti A., Tryggvason G. Computational methods for multiphase flow. Cambridge; NY; Melbourne; Madrid; Cape Town; Singapore; Sao Paulo: Cambridge Univ. Press, 2007. 470 p.

7.   Kolev N.I. Multiphase flow dynamics. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. 781 p.

8.   Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

9.   Ладыженская О.А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1961. 204 с.

10.   Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

11.   Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

12.   Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и практика. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

13.   Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 320 с.

14.   Кажихов А.В. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН, 2008. 420 с.

15.   Алексеев Г.В., Терешко Д.А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 364 с.

16.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 288 с.

17.   Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и их приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

18.   Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. науч. изд-во, 2009. 457 с.

19.   Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения обратных задач математической физики. М.: УРСС, 2004. 480 с.

20.   Ismail-Zadeh A., Tackley P. Computational methods for geodynamics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2010. 313 p.

21.   Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002. 824 с.

22.   Nocedal J., Wright S.J. Numerical optimization. NY: Springer, 1999. 664 p.

23.   Ismail-Zadeh A., Korotkii A., Tsepelev I. Data-driven numerical modelling in geodynamics: Methods and applications. Berlin: Springer Intern. Publ., 2016. 105 p. doi: 10.1007/978-3-319-27801-8 

24.   Korotkii A., Kovtunov D., Ismail-Zadeh A., Tsepelev I., Melnik O. Quantitative reconstruction of thermal and dynamic characteristics of volcanic lava from surface thermal measurements // Geophysical J. Intern. 2016. Vol. 205, iss. 3. P. 1767–1779. doi:10.1093/gji/ggw117 

25.   Короткий А.И. Обратные задачи о восстановлении параметров системы Навье — Стокса // Современная математика и ее приложения, 2005. Т. 26 (Нелинейная динамика). С. 54–77.

26.   Tsepelev I., Ismail-Zadeh A., Melnik O. Lava dome morphology inferred from numerical modelling // Geoph. J. Intern. 2020. Vol. 223, iss. 3. P. 1597–1609. doi: 10.1093/gji/ggaa395 

27.   Kaltenbacher B., Neubauer A., Scherzer O. Iterative regularization methods for nonlinear ill-posed problems. Berlin: Walter de Gruyter, 2008. Vol. 6. 202 p.

28.   Wolfe P. Convergence conditions for ascent methods II: Some corrections // SIAM Review. 1971. Vol. 13. P. 185–188.

29.   Gilbert J.Ch., Nocedal J. Global convergence properties of conjugate gradient methods for optimization // SIAM J. Optimization. 1992. Vol. 2, no. 1. P. 21–42.

30.   Сеа Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. М.: Мир, 1973. 244 с.

Поступила 2.02.2022

После доработки 10.03.2022

Принята к публикации 14.03.2022

Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru

Цепелев Игорь Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tsepelev@imm.uran.ru

Алик Исмаил-Заде
д-р физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник
Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики РАН
г. Москва;
cтарший науч. сотрудник
Институт прикладных наук о Земле
Технологический институт Карлсруэ
Карлсруэ. Германия
e-mail: aismail@mitp.ru

Ссылка на статью: А.И. Короткий, И.А. Цепелев, A.T. Исмаил-Заде. Ассимиляция данных о свободной поверхности потока жидкости для нахождения ее вязкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 143-157

English

A.I. Korotkii, I.A. Tsepelev, A.T. Ismail-Zadeh. Assimilating data on the free surface of a fluid flow to find its viscosity

We consider a model of a two-phase immiscible incompressible viscous fluid flow and solve an inverse problem to determine the fluid viscosity from a known location of its free surface. The mathematical model of the fluid flow is reduced to solving a problem described by the Navier–Stokes equation in the field of gravity, the incompressibility equation, and the advection equation for the interface between the two phases and is supplemented by the corresponding initial and boundary conditions. The fluid density and viscosity depend on the spatial coordinates and time. The considered problem is ill-posed, as small errors in the initial data and computations may lead to large errors in the solution. The numerical modeling of such problems requires the use of special methods that guarantee the stability of the computational process with respect to the errors. The aim of this work is to develop methods and algorithms for a stable numerical modeling of the inverse problem. To solve the inverse problem, we propose to use a variational method and to replace the original problem with an extremal problem in which a suitable functional related to the discrepancy between the measurements of the location of the fluid’s free surface and its location obtained from the solution of a specially constructed controlled dynamic system is minimized. The desired solution of this extremal problem is successively approximated by solutions of terminal–boundary value control problems for the adjoint system, which represents the gradient of the objective functional. A difficulty of this approach is associated with the numerical simulation of the control problems due to their nonlinearity. Some variants of gradient methods can be applied to minimize the discrepancy functional. The gradient of this functional and the descent step along the anti-gradient are determined analytically, allowing for an essential reduction of computations.

Keywords: viscous fluid, incompressible fluid, two-phase fluid, inverse problem, discrepancy functional, variational method, gradient descent method

Received February 2, 2022

Revised March 10, 2022

Accepted March 14, 2022

Funding Agency: This work was supported jointly by the Russian Foundation for Basic Research and the German Research Society (project RFBR no. 20-51-12002, project DFG no. IZ203/14-1).

Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru 

Igor Anatolievich Tsepelev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tsepelev@imm.uran.ru 

Alik Ismail-Zadeh, Dr. Phys.-Math. Sci., Chief Scientist, Institute of Earthquake Prediction Theory and Mathematical Geophysics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia, e-mail: aismail@mitp.ru. Also: Senior Scientist, Institute of Applied Geosciences (AGW) Karlsruhe Institute of Technology (KIT), Karsruhe, Germany.

Cite this article as: Korotkii A.I., Tsepelev I.A., Ismail-zadeh A.T. Assimilating data on the free surface of a fluid flow to constrain its viscosity. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 143–157.

[References -> on the "English" button bottom right]