Н.В. Маслова, К.А. Ильенко. О совпадении графов Грюнберга — Кегеля почти простой группы и неразрешимой группы Фробениуса ... С. 168-175

УДК 512.542

MSC: 20D06, 20D60

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-2-168-175

Работа выполнена за счет Российского научного фонда (проект 19-71-10067).

Пусть $G$— конечная группа. Множество порядков всех элементов группы $G$ называется ее спектром и обозначается через $\omega(G)$. Простым спектром $\pi(G)$ группы $G$ называется множество всех простых делителей ее порядка. Графом Грюнберга — Кегеля (или графом простых чисел) $\Gamma(G)$ группы $G$ называется обыкновенный граф, множество вершин которого совпадает с множеством $\pi(G)$, и две вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $pq \in \omega(G)$. Из структурной теоремы Грюнберга — Кегеля следует, что класс конечных групп с несвязными графами Грюнберга — Кегеля широко обобщает класс конечных групп Фробениуса, роль которых в теории конечных групп совершенно исключительна. Естественным образом возникает вопрос о совпадении графов Грюнберга — Кегеля конечной группы Фробениуса и конечной почти простой группы с несвязным графом Грюнберга — Кегеля. Ответ на этот вопрос известен в случаях, когда группа Фробениуса разрешима и когда почти простая группа совпадает со своим цоколем. В этой короткой заметке мы даем ответ на этот вопрос в случае, когда группа Фробениуса неразрешима, а цоколь почти простой группы изоморфен группе $PSL_2(q)$ для некоторого $q$.

Ключевые слова: конечная группа, граф Грюнберга — Кегеля (граф простых чисел), неразрешимая группа Фробениуса, почти простая группа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бутурлакин А.А. Спектры конечных линейных и унитарных групп // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 2. С. 157–173.

2.   Горшков И.Б., Маслова Н.В. Конечные почти простые группы с графами Грюнберга — Кегеля как у разрешимых групп // Алгебра и логика. 2018. Т. 57, № 2. С. 175–196. doi: 10.17377/alglog.2018.57.203 

3.   Зиновьева М.Р., Кондратьев А.С. Конечные почти простые группы с графами простых чисел, все связные компоненты которых являются кликами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т. 21, № 3. С. 132–141.

4.   Зиновьева М.Р., Мазуров В.Д. О конечных группах с несвязным графом простых чисел // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 3. С. 99–105.

5.   Кондратьев А.С., Храмцов И.В. Письмо в редакцию // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 276–277. doi: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-276-277 

6.   Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 142–159.

7.   Маслова Н.В. Классификация максимальных подгрупп нечетного индекса в конечных простых классических группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 4. С. 100–118.

8.   Маслова Н.В. О совпадении графов Грюнберга — Кегеля конечной простой группы и ее собственной подгруппы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2014. Т. 20, № 1. С. 156–168.

9.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 407). doi: 10.1017/CBO9781139192576 

10.   Atlas of finite groups / J.H. Conway [et. al.]. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

11.   Gérono G.C. Note sur la résolution en nombres entiers et positifs de l’ équation $x^m = y^n+1$  // Nouv. Ann. Math (2). 1870. Vol. 9. P. 469–471.

12.   Gorenstein D. Finite groups. NY: Chelsea, 1968. 520 p.

13.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classification of the finite simple groups. Number 3. Providence, RI : American Math. Soc., 1998. (Vol. 40.3 of Mathematical Surveys and Monographs.)

14.   Gruenberg K.W., Roggenkamp K.W. Decomposition of the augmentation ideal and of the relation modules of a finite group // Proc. London Math. Soc. (3). 1975. Vol. 31, no. 2. P. 149–166. doi: 10.1112/plms/s3-31.2.149 

15.   An atlas of Brauer characters / C. Jansen [et. al.]. Oxford: Clarendon Press, 1995. 327 p.

16.   Kleidman P., Liebeck M. The subgroup structure of the finite classical groups. Cambridge: Cambridge Univ. Press. 1990. 304 p.

17.   Mahmoudifar A. On some Frobenius groups with the same prime graph as the almost simple group $PGL(2,49)$ [e-resource]. 2016. 7 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1601.00146.pdf 

18.   Williams J. S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513. doi: 10.1515/jgth.2003.044 .

19.   Zavarnitsine A. V. Recognition of the simple groups $L_3(q)$ by element orders // J. Group Theory. 2004. Vol. 7, no. 1. P. 81–97.

20.   Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste // J. Monatshefte Math. Phys. 1892. Vol. 3. P. 265–284. doi: 10.1007/BF01692444 

Поступила 28.01.2022

После доработки 30.04.2022

Принята к публикации 5.05.2022

Маслова Наталья Владимировна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: butterson@mail.ru

Ильенко Кристина Альбертовна
аспирант
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: christina.ilyenko@yandex.ru

Ссылка на статью: Н.В. Маслова, К.А. Ильенко. О совпадении графов Грюнберга — Кегеля почти простой группы и неразрешимой группы Фробениуса // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 2. С. 168-175

English

N.V. Maslova, K.A. Ilenko. On the coincidence of Gruenberg–Kegel graphs of an almost simple group and a nonsolvable Frobenius group

Let $G$ be a finite group. Its spectrum $\omega(G)$ is the set of all element orders of $G$. The prime spectrum $\pi(G)$ is the set of all prime divisors of the order of $G$. The Gruenberg—Kegel graph (or the prime graph) $\Gamma(G)$ is a simple graph whose vertex set is $\pi(G)$, and two distinct vertices $p$ and $q$ are adjacent in $\Gamma(G)$ if and only if $pq \in \omega(G)$. The structural Gruenberg—Kegel theorem implies that the class of finite groups with disconnected Gruenberg—Kegel graphs widely generalizes the class of finite Frobenius groups, whose role in finite group theory is absolutely exceptional. The question of coincidence of Gruenberg—Kegel graphs of a finite Frobenius group and of an almost simple group naturally arises. The answer to the question is known in the cases when the Frobenius group is solvable and when the almost simple group coincides with its socle. In this short note we answer the question in the case when the Frobenius group is nonsolvable and the socle of the almost simple group is isomorphic to $PSL_2(q)$ for some $q$.

Keywords: finite group, Gruenberg—Kegel graph (prime graph), nonsolvable Frobenius group, almost simple group

Received January 28, 2022

Revised April 30, 2022

Accepted May 5, 2022

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 19-71-10067).

Natalia Vladimirovna Maslova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: butterson@mail.ru

Kristina Al’bertovna Ilenko, doctoral student, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: christina.ilyenko@yandex.ru

Cite this article as: N.V. Maslova, K.A. Ilenko. On the coincidence of Gruenberg–Kegel graphs of an almost simple group and a nonsolvable Frobenius group, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 2, pp. 168–175.

[References -> on the "English" button bottom right]