Ю.Ф. Долгий, А.Н. Сесекин. Исследование регуляризации вырожденной задачи импульсной стабилизации системы с запаздыванием ... С. 74-95

УДК 517.929

MSC: 34K06, 34K20, 34K30, 93C27

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-74-95

Рассматривается вырожденная задача стабилизации линейной автономной системы дифференциальных уравнений с запаздыванием и импульсными управлениями. Для ее регуляризации используется невырожденный критерий качества переходных процессов, близкий к вырожденному. Применяется преобразование регуляризованной задачи стабилизации для импульсных управлений к вспомогательной невырожденной задаче оптимальной стабилизации для не импульсных управлений, содержащих запаздывание. При решении вспомогательной задачи используется принцип динамического программирования Беллмана. При нахождении определяющей системы уравнений для коэффициентов квадратичного функционала Беллмана осуществляется постановка задачи оптимальной стабилизации в функциональных пространствах состояний и управлений. Получено представление для импульса оптимального стабилизирующего управления. Сложная задача нахождения решения определяющей системы уравнений для функционала Беллмана заменяется задачей нахождения решения определяющей системы уравнений для коэффициентов представления оптимального стабилизирующего управления. Последняя задача имеет меньшую размерность. Найдена асимптотическая зависимость оптимального стабилизирующего управления от параметра регуляризации, когда размерность вектора управления совпадает с размерностью вектора состояний.

Ключевые слова: линейная автономная система, запаздывание, оптимальная стабилизация, импульсное управление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Об аналитическом конструировании оптимального регулятора в системе с запаздываниями времени // Прикл. математика и механика. 1962. Т. 26, вып. 1. С. 39–51.

2.   Delfour M.C., McCalla C., Mitter S.K. Stability and the infinite-time quadratic cost problem for linear hereditary differential systems // SIAM J. Control. 1975. Vol. 13, no. 1. P. 48–88. doi: 10.1137/0313004 

3.   Gibson J.S. Linear-quadratic optimal control of hereditary differential systems: infinite dimensional Riccati equations and numerical approximations // SIAM J. Control Optim. 1983. Vol. 21. no. 5. P. 95–135. doi: 10.1137/0321006 

4.   Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336 с.

5.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3-53.

6.   Андреева И.Ю., Сесекин А.Н. Импульсная линейно-квадратичная задача оптимизации в системах с последействием // Изв. вузов. Математика. 1995. № 10. С. 10–14.

7.   Желонкина Н.И., Ложников А.Б., Сесекин А.Н. Об оптимальной стабилизации импульсным управлением линейных систем с последействием // Автоматика и телемеханика. 2013. № 11. С. 39–48.

8.   Долгий Ю.Ф. К стабилизации линейных автономных систем дифференциальных уравнений с распределенным запаздыванием // Автоматика и телемеханика. 2007. № 10. С. 92–105.

9.   Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

10.   Егоров А.И. Уравнения Риккати. М.: СОЛОН-Пресс, 2017. 448 с.

11.   Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 192 с.

12.   Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

Поступила 4.10.2021

После доработки 1.02.2022

Принята к публикации 17.02.2022

Долгий Юрий Филиппович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: yurii.dolgii@imm.uran.ru

Сесекин Александр Николаевич
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
профессор, зав. кафедрой
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: a.n.sesekin@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Ю.Ф. Долгий, А.Н. Сесекин. Исследование регуляризации вырожденной задачи импульсной стабилизации  системы с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 74-95

English

Yu.F. Dolgii, A.N. Sesekin. Regularization analysis of a degenerate problem of impulsive stabilization
for a system with time delay

A degenerate problem of stabilizing a linear autonomous system of differential equations with time delay and impulse controls is considered. A nondegenerate criterion for the quality of transient processes, close to a degenerate one, is used for its regularization. The regularized stabilization problem for impulse controls is replaced by an auxiliary non-degenerate optimal stabilization problem for non-impulse controls containing time delay. Bellman’s dynamic programming principle is used to solve the auxiliary problem. When finding the governing system of equations for the coefficients of the quadratic Bellman functional, the formulation of the optimal stabilization problem in the functional spaces of states and controls is used. A representation is obtained for the impulse of the optimal stabilizing control. The difficult problem of finding a solution to the governing system of equations for the Bellman functional is replaced by the problem of finding a solution to the governing system of equations for the coefficients of the representation of the optimal stabilizing control. The latter problem has a lower dimension. The asymptotic dependence of the optimal stabilizing control on the regularization parameter is found when the dimension of the control vector coincides with the dimension of the state vector.

Keywords: linear autonomous system, time delay, optimal stabilization, impulse control

Received October 4, 2021

Revised February 1, 2022

Accepted February 17, 2022

Yuriy Filippovich Dolgii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekateriburg, 620000, Russia, e-mail: yurii.dolgii@imm.uran.ru

Alexander Nikolaevich Sesekin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: a.n.sesekin@urfu.ru

Cite this article as: Yu.F. Dolgii, A.N. Sesekin. Regularization analysis of a degenerate problem of impulsive stabilization for a system with time delay, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 74–95.

[References -> on the "English" button bottom right]