О.В. Кравцова, Д.С. Скок. Метод регулярного множества построения конечных квазиполей ... С. 164-181

УДК 512.554

MSC: 17D99, 16K20, 15A04, 51E15

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-164-181

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-01-00566 А.

Ослабление аксиом поля приводит к более общим алгебраическим системам: почти-полям, полуполям, квазиполям. Инструментарий для исследования этих систем более сложен в использовании. Метод регулярного множества основан на записи умножения в квазиполе как линейного преобразования в ассоциированном линейном пространстве. Переход к матричным операциям позволяет эффективно применять метод для исследования конечных плоскостей трансляций и их координатизирующих квазиполей. В статье получено характеристическое свойство регулярного множества почти-поля размерности два над ядром. Полученный результат применен к двум неизоморфным почти-полям порядка 25 и квазиполям порядка 9. Обсуждается вопрос существования квазиполей с мультипликативной лупой Муфанг. Методом регулярного множества доказано, что неассоциативных квазиполей Муфанг порядка 25 не существует. Перечислены некоторые вопросы теории конечных полуполей и полуполевых проективных плоскостей, в решении которых может быть использован метод регулярного множества. Указана эффективность метода при компьютерных построениях квазиполей и плоскостей трансляций.

Ключевые слова: квазиполе, почти-поле, полуполе, регулярное множество, плоскость трансляций

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Dickson L.E. Linear algebras in which division is always uniquely possible // Trans. Amer. Math. Soc. 1906. Vol. 7, no. 3. P. 370–390. doi: 10.1090/S0002-9947-1906-1500755-5 

2.   Veblen O., Maclagan–Wedderburn J.H. Non-Desarguesian and Non-Pascalian Geometries // Trans. Amer. Math. Soc. 1907. Vol. 8, no. 3. P. 379–388. doi: 10.1090/S0002-9947-1907-1500792-1 

3.   Холл М. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 468 с.

4.   Hughes D.R., Piper F.C. Projective planes. NY: Springer-Verlag, 1973. 292 p.

5.   Dickson L.E. On finite algebras // Nachr. Akad. Wiss. Göttingen, Math.-Phys. 1905. Kl. II. P. 358–393. URL: https://eudml.org/doc/58621 

6.   Zassenhaus H. Uber endliche Fastkörper // Abh. Math. Sem. Hamburg. 1936. Vol. 11. P. 187–220. doi: 10.1007/BF02940723 

7.   Hall M., Jr. Projective planes // Trans. Amer. Math. Soc. 1943. Vol. 54. P. 229–277. doi: 10.1090/S0002-9947-1943-0008892-4 

8.   Johnson N.L., Jha V., Biliotti M. Handbook of finite translation planes. London; NY: Chapman Hall/CRC, 2007. 888 p.

9.   Kravtsova O.V. On automorphisms of semifields and semifield planes // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2016. Vol. 13. P. 1300–1313. doi: 10.17377/semi.2016.13.102 

10.   Levchuk V.M., Kravtsova O.V. Problems on structure of finite quasifields and projective translation planes // Lobachevskii J. Math. 2017. Vol. 38, no. 4. P. 688–698. doi: 10.1134/S1995080217040138 

11.   Maduram D.M. Matrix representation of translation planes // Geom. Dedicata. 1975. Vol. 4. P. 485–492. doi: 10.1007/BF00148776 

12.   Podufalov N.D. On spread sets and collineations of projective planes // Contem. Math. 1992. Vol. 131, part 1. P. 697–705. doi: 10.1090/conm/131.1/1175813 

13.   Biliotti M., Jha V., Johnson N.L. Foundations of translation planes. NY, Basel: Marcel Dekker Inc., 2001, 542 p.

14.   Mäurer H. Die affine Projektivitätengruppe der Hallebenen [The affine group of projectivities of the Hall planes] // Aequationes Math. 1987. Vol. 32. P. 271–273. URL: https://eudml.org/doc/137191 

15.   Nesbitt–Stobert S.B., Garner C.W.L. A direct proof that all Hall planes of the same finite order are isomorphic // Riv. Mat. Univ. Parma. 1986. Vol. 12, no. 4. P. 241–247. URL: http://rivista.math.unipr.it/fulltext/1986-12/1986-12-241.pdf 

16.   Wähling H. Theorie der Fastkörper. Ser. Thales Monographs, vol. 1. Essen: Thales-Verlag, 1987. 393 p.

17.   Кравцова О.В., Левчук В.М. Вопросы строения конечных почти-полей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 107–117. doi: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-107-117 

18.   Grishkov A.N., Zavarnitsyn A.V. Lagrange’s theorem for Moufang loops // Math. Proc. Phil. Soc. 2005. Vol. 139. P. 41–57. doi: 10.1017/S0305004105008388 

19.   Grishkov A.N., Zavarnitsyn A.V. Sylow’s theorems for Moufang loops // J. Algebra. 2009. Vol. 321, no. 7. P. 1813–1825. doi: 10.1016/j.jalgebra.2008.08.035 

20.   Яковлева Т.Н. Вопросы строения квазиполей с ассоциативными степенями // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. “Математика”. 2019. Т. 29. C. 107–119. doi: 10.26516/1997-7670.2019.29.107 

21.   Chein O. Moufang loops of small order. I // Trans. of the Amer. Math. Soc. 1974. Vol. 188, iss. 2. P. 31–51. doi: 10.1090/S0002-9947-1974-0330336-3 

22.   Knuth D.E. Finite semifields and projective planes // J. Algebra. 1965. Vol. 2. P. 182–217. doi: 10.1016/0021-8693(65)90018-9 

23.   Kantor W.M. Commutative semifields and symplectic spreads // J. Algebra. 2003. Vol. 270, no. 1. P. 96–114. doi: 10.1016/S0021-8693(03)00411-3 

24.   Lavrauw M., Polverino O. Finite semifields // Current research topics in Galois Geometry / eds. L. Storme and J. De Beule. Chapter 6. NY: NOVA Acad. Publ., 2011. P. 131–160. URL: http://hdl.handle.net/1854/LU-2152960 

25.   Wene G.P. On the multiplicative structure of finite division rings // Aequationes Math. 1991. Vol. 41. P. 222–233. doi: 10.1007/BF02227457 

26.   Hentzel I.R., Rúa I.F. Primitivity of finite semifields with 64 and 81 elements // Internat. J. Algebra and Computation. 2007. Vol. 17, no. 7. P. 1411–1429. doi: 10.1142/S0218196707004220 

27.   Kravtsova O.V. On alternating subgroup $A_5$ in autotopism group of finite semifield plane // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2020. Vol. 17. P. 47–50. doi: 10.33048/semi.2020.17.004 

28.   Oyama T. On quasifields // Osaka J. Math. 1985. Vol. 22. P. 35–54. URL: https://projecteuclid.org/journals/osaka-journal-of-mathematics/volume-2...

Поступила 10.11.2021

После доработки 20.12.2021

Принята к публикации 27.12.2021

Кравцова Ольга Вадимовна
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры высшей математики №2
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: ol71@bk.ru

Скок Дарья Сергеевна
магистрант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: skokdarya@yandex.ru

Ссылка на статью: О.В. Кравцова, Д.С. Скок. Метод регулярного множества построения конечных квазиполей // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 164-181

English

O.V. Kravtsova, D.S. Skok. The spread set method for the construction of finite quasifields

The weakening of the field axioms leads to more general algebraic systems such as near-fields, semifields, and quasifields. The tools for studying these systems are more difficult to use. The spread set method is based on recording multiplication in a quasi-field as a linear transform in the associated linear space. The transition to matrix operations enables the effective application of the method for studying the finite translation planes and their coordinatizing quasifields. We obtain a characteristic property of a spread set for a near-field of dimension two over the kernel. The result is applied to two non-isomorphic near-fields of order 25 and quasifields of order 9. The existence of quasifields with a multiplicative Moufang loop is also discussed. It is proved by the spread set method that a non-associative Moufang quasifield of order 25 does not exist. We list some questions of the theory of finite semifields and semifield projective planes where the spread set method may be useful. This method is also effective in computer constructions of quasifields and translation planes.

Keywords: quasifield, near-field, semifield, spread set, translation plane

Received November 10, 2021

Revised December 20, 2021

Accepted December 27, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566 А).

Olga Vadimovna Kravtsova, Cand. Phys.-Math. Sci., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: ol71@bk.ru

Daria Sergeevna Skok, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: skokdarya@yandex.ru

Cite this article as: O.V. Kravtsova, D.S. Skok. The spread set method for the construction of finite quasifields, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 164–181.

[References -> on the "English" button bottom right]