В.М. Леонтьев. О показателях степеней коммутаторов из собирательной формулы Ф. Холла ... С. 182-198

УДК 512.54

MSC: 20F12, 05E15

DOI: 10.21538/0134-4889-2022-28-1-182-198

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ (Соглашение 075-02-2022-876).

Пусть $G$ - группа, $x,y \in G$. В работе вычисляются в явном виде показатели степеней некоторых коммутаторов из собирательной формулы Ф. Холла для выражения $(xy)^n$, $n \in \mathbb{N}$. Для двух серий коммутаторов: $[y,\!\!\ _ux,\!\!\ _vy]$ и $[[y,\!\!\ _ux],[y,\!\!\ _vx]]$ показатели найдены в холловском виде, т. е. в виде целочисленных полиномов от $n$ с нулевым свободным членом, а также по модулю $n$, когда $n$ - простое число. Для серии коммутаторов $[[y,\!\!\ _{u}x,\!\!\ _{v}y],\!\!\ _{t_{1}}[y,\!\!\ _{u_1}x,\!\!\ _{v_1}y], \ldots,\!\!\ _{t_{h}}[y,\!\!\ _{u_h}x,\!\!\ _{v_h}y]]$ показатели найдены в виде кратных комбинаторных сумм. Как следствие, в работе получен явный вид собирательной формулы Ф. Холла в двух случаях: группа $G$ разрешима ступени 2, коммутант $G'$ нильпотентен ступени 2 и $y \in C_G(G')$. Выведена собирательная формула в явном виде для выражения $(xy)^n$, когда группа $G$ разрешима ступени 3. Результаты получены на основе параметризации несобранной части собирательной формулы функцией бинарного веса числа. Они могут оказаться полезными при решении проблем комбинаторной теории групп, при исследовании конечных $p$-групп на регулярность.

Ключевые слова: собирательный процесс, собирательная формула, коммутатор

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Hall P. A contribution to the theory of groups of prime-power order // Proc. Lond. Math. Soc. 1934. Vol. s2-36, iss. 1. P. 29–95. doi: 10.1112/plms/s2-36.1.29 

2.   Hall M., Jr.  The theory of groups. NY: The Macmillan Co., 1959. 434 p.

3.   Magnus W., Karras A., Solitar D. Combinatorial group theory: Presentations of groups in terms of generators and relations. NY: Interscience Publ., Wiley 1966. 444 p.

4.   Krause E.F. On the collection process // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. Vol. 15, no. 3. P. 497–504. doi: 10.2307/2034532 

5.   Krause E.F. Groups of exponent 8 satisfy the 14th Engel congruence // Proc. Amer. Math. Soc. 1964. Vol. 15, no. 3. P. 491–496. doi: 10.2307/2034531

6.   Скопин А.И. О собирательной формуле // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1974. Т. 46. С. 59–63.

7.   Скопин А.И. Тождество Якоби и собирательная формула Ф. Холла в трансметабелевых группах двух типов // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1989. Т. 175. С. 106–112.

8.   Скопин А.И. Графическое построение собирательной формулы некоторых типов групп // Зап. научн. сем. ЛОМИ. 1991. Т. 191. С. 140–151.

9.   Скопин А.И., Тетерин Ю.Г. Ускорение алгорифма построения собирательной формулы Ф. Холла // Зап. научн. сем. ПОМИ. 1995. Т. 191. С. 106–112.

10.   Леонтьев В.М. Комбинаторные вопросы, связанные с собирательным процессом Ф. Холла // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 873–889. doi: 10.33048/semi.2020.17.064 

11.   Kolesnikov S.G., Leontiev V.M., Egorychev G.P. Two collection formulas // J. Group Theory. 2020. Vol. 23, no. 4. P. 607–628. doi: 10.1515/jgth-2019-0074 

12.   Колесников С.Г., Леонтьев В.М. Об одном необходимом условии регулярности и его следствиях // Междунар. конф. “Мальцевские чтения”, посвящен. 70-летию акад. С.С. Гончарова (Новосибирск, 20–24 сентября 2021 г.): тез. докл. С. 96.

Поступила 16.09.2021

После доработки 22.11.2021

Принята к публикации 29.11.2021

Леонтьев Владимир Маркович
аспирант
Институт математики и фундаментальной информатики
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: v.m.leontiev@outlook.com

Ссылка на статью: В.М. Леонтьев. О показателях степеней коммутаторов из собирательной формулы Ф. Холла // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2022. Т. 28, № 1. С. 182-198

English

V.M. Leontiev. On the exponents of commutators from P. Hall’s collection formula

Let $G$ be a group, and let $x,y \in G$. We find an explicit form of the exponents of some commutators from P. Hall's collection formula for the expression $(xy)^n$, $n \in \mathbb{N}$. The exponents for the series of commutators $[y,\!\!\ _ux,\!\!\ _vy]$ and $[[y,\!\!\ _ux],[y,\!\!\ _vx]]$ are found in the Hall form, i.e., in the form of integer-valued polynomials in $n$ with zero constant term, and also modulo $n$ when $n$ is a prime number. The exponents for the series of commutators $[[y,\!\!\ _{u}x,\!\!\ _{v}y],\!\!\ _{t_{1}}[y,\!\!\ _{u_1}x,\!\!\ _{v_1}y], \ldots,\!\!\ _{t_{h}}[y,\!\!\ _{u_h}x,\!\!\ _{v_h}y]]$ are found in the form of multiple combinatorial sums. As a consequence, we obtain an explicit form of Hall's collection formula in two cases: the group $G$ has solvability length 2, the commutator subgroup $G'$ has nilpotency class 2, and $y \in C_G(G')$. A collection formula for the expression $(xy)^n$ is obtained in an explicit form when the group $G$ has solvability length 3. To obtain these results we parameterize the uncollected part of the collection formula by the binary weight function. The results may be useful in solving problems in combinatorial group theory and in studying the regularity of finite $p$-groups.

Keywords: collection process, collection formula, commutator

Received September 16, 2021

Revised November 22, 2021

Accepted November 29, 2021

Funding Agency: This work is supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center and financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation (Agreement No. 075-02-2022-876).

Vladimir Markovich Leontiev, doctoral student, Institute of Mathematics and Computer Science of the Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: v.m.leontiev@outlook.com

Cite this article as: V.M. Leontiev. On the exponents of commutators from P. Hall’s collection formula, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2022, vol. 28, no. 1, pp. 182–198.

[References -> on the "English" button bottom right]