А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева, И.А. Цепелев. Гравитационное течение двухфазной вязкой несжимаемой жидкости ... С. 61-73

УДК 517.9

MSC: 76D03, 76D05, 35Q30, 76T15

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-61-73

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и DFG (Deutsche Forschungsgemeinschaft, Немецкое научно-исследовательское общество) в рамках научного проекта № 20-51-12002.

Многие природные явления и процессы, такие как потоки лавы при экструзивном извержении вулканов, селевые потоки и оползни горных пород, снежные лавины могут иметь катастрофические последствия для жизни и деятельности человека и животных. Математическое моделирование подобных ситуаций представляет собой важную научную задачу. Все эти и многие другие явления и процессы могут быть представлены моделями гравитационного течения вязкой несжимаемой жидкости. Основными движущими силами в эволюции упомянутых потоков являются гравитационные силы, силы вязкого трения, силы межфазового взаимодействия. Для математического описания подобных процессов предлагаются математические модели движения двухфазной вязкой несжимаемой жидкости. Одну фазу такой жидкости представляет собой собственно вязкая несжимаемая жидкость (вязкая фаза), другую фазу — несжимаемая жидкость с малой плотностью и малой вязкостью, которую условно будем называть воздухом. Введение воздушной фазы позволяет несколько упростить математическую модель для общего потока жидкости и упростить для него граничные условия. Математическая модель включает в себя уравнение Навье — Стокса, уравнение несжимаемости, уравнение переноса вязкой фазы, а также соответствующие начальные и граничные условия. В работе изучаются такие математические модели. Установлена корректность соответствующих начально-краевых задач; для них доказаны теоремы о разрешимости в обобщенном (слабом) смысле. Исследована зависимость решения от исходных данных и некоторых параметров модели.

Ключевые слова: вязкость, вязкая жидкость, несжимаемая жидкость, многофазная жидкость, уравнение Навье — Стокса, уравнение переноса, обобщенное решение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Романова Д. И. Трехмерное моделирование схода лавинных потоков средствами пакета OpenFOAM // Тр. Ин-та системного программирования РАН. 2017. Т. 29, вып. 1. С. 85–100.
doi: 10.15514/ISPRAS-2017-29(1)-6 .

2.   Tsepelev I., Ismail-Zadeh A., Melnik O., Korotkii A. Numerical modelling of fluid flow with rafts: An application to lava flows // J. Geodynamics. 2016. Vol. 97. P. 31–41.  doi: 10.1016/j.jog.2016.02.010 .

3.   Мальнева И. В., Кононова Н. К., Крестин Б. М. Особенности развития опасных природных процессов на территории Большого Сочи в соответствии с современными изменениями климата // Устойчивое развитие горных территорий. 2016. Т. 8, № 1. C. 73–80.
doi: 10.21117/1998-4502-2016-8-1-73-80 .

4.   Ismail-Zadeh A., Takeuchi K. Preventive disaster management of extreme natural events // Natural Hazards. 2007. Vol. 42, no. 3. P. 459–467. doi: 10.1007/s11069-006-9075-0 .

5.   Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford: Clarendon Press, 1961. 652 p.

6.   Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

7.   Prosperetti A., Tryggvason G. Computational methods for multiphase flow. Cambridge: Cambridge University Press, 2007. 470 p.

8.   Kolev N. I. Multiphase flow dynamics. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2011. 781 p.

9.   Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Часть 1. М.: Наука, 1987. 464 с.

10.   Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

11.   Исмаил-заде А. Т., Лобковский Л. И., Наймарк Б. М. Гидродинамическая модель формирования осадочного бассейна в результате образования и последующего фазового перехода магматической линзы в верхней мантии // Выч. сейсмология. Геодинамика и прогноз землетрясений. М.: Наука, 1994. Вып. 26. С. 139–155.

12.   Volozh Y. A., Talbot C. J., Ismail-Zadeh A. T. Salt structures and hydrocarbons in the Pricaspian basin // American Association of Petroleum Geologist Bulletin. 2003. Vol. 87, no. 2. P. 313–334.

13.   Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

14.   Лионс Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 587 с.

15.   Фурсиков А. В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и практика. Новосибирск: Научная книга, 1999. 352 с.

16.   Алексеев Г. В., Терешко Д. А. Анализ и оптимизация в гидродинамике вязкой жидкости. Владивосток: Дальнаука, 2008. 364 с.

17.   Антонцев С. Н., Кажихов А. В., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 320 с.

18.   Кажихов А. В. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Новосибирск: Изд-во Ин-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2008. 420 с.

19.   Ismail-Zadeh A., Korotkii A., Schubert G., Tsepelev I. Numerical techniques for solving the inverse retrospective problems of thermal evolution of the Earth interior // Computers and Structures. 2009. Vol. 87, iss. 11–12. P. 802–811.  doi: 10.1016/j.compstruc.2009.01.005 .

20.   Ismail-Zadeh A., Korotkii A., Tsepelev I. Data-driven numerical modelling in geodynamics: Methods and applications. Berlin: Springer Intern. Publ., 2016. 105 p.
doi: 10.1007/978-3-319-27801-8 .

Поступила 21.07.2021

После доработки 9.08.2021

Принята к публикации 13.09.2021

Короткий Александр Илларионович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: korotkii@imm.uran.ru

Стародубцева Юлия Владимировна
канд. физ.-мат. наук
науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: starodubtsevayv@yandex.ru

Цепелев Игорь Анатольевич
канд. физ.-мат. наук
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: tsepelev@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.И. Короткий, Ю.В. Стародубцева, И.А. Цепелев. Гравитационное течение двухфазной вязкой несжимаемой жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 61-73

English

A.I. Korotkii, Yu.V. Starodubtseva, I.A. Tsepelev. Gravitational flow of a two-phase viscous incompressible liquid

Many natural phenomena and processes, such as lava flows during extrusive eruptions of volcanoes, mudflows, rock landslides, and snow avalanches, can have catastrophic consequences for the life and activities of humans and animals. Mathematical modeling of such problems is an important scientific problem. All these and many other phenomena and processes can be represented by models of the gravitational flow of a viscous incompressible fluid. The main driving forces in the evolution of these flows are the forces of gravitation, viscous friction, and interphase interaction. For the mathematical description of such processes, we propose mathematical models of the motion of a two-phase viscous incompressible fluid. One phase of such a fluid is a viscous incompressible fluid (viscous phase) itself, and the other phase is an incompressible fluid with low density and low viscosity, which will be called air for convenience. The introduction of the air phase makes it possible to slightly simplify the mathematical model for the total fluid flow and simplify the boundary conditions for it. The mathematical model includes the Navier–Stokes equation, the incompressibility equation, the viscous phase transfer equation, and the corresponding initial and boundary value conditions. The introduced mathematical models are studied. It is established that the corresponding initial–boundary value problems are well-posed. Theorems on the solvability in the generalized (weak) sense are proved for initial–boundary value problems. The dependence of the solution on the initial data and some parameters of the model is investigated.

Keywords: viscosity, viscous liquid, incompressible liquid, multiphase liquid, Navier–Stokes equation, transfer equation, generalized solution

Received July, 2021

Revised August 9, 2021

Accepted September 13, 2021

Funding Agency: This work was supported jointly by the Russian Foundation for Basic Research and the German Research Society (project no. 20-51-12002).

Alexander Illarionovich Korotkii, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: korotkii@imm.uran.ru

Yulia Vladimirovna Starodubtseva, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: starodubtsevayv@yandex.ru

Igor Anatolievich Tsepelev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: tsepelev@imm.uran.ru

Cite this article as: I.A. Tsepelev, A.I. Korotkii, Yu.V.Starodubtseva. Gravitational flow of a two-phase viscous incompressible liquid, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 61–73.

[References -> on the "English" button bottom right]