И.В. Мельникова, В.А. Бовкун. Полугруппы операторов, связанные со случайными процессами, в расширении классификации Гельфанда — Шилова ... С. 74-87

УДК 519.21+517.983+517.982.4

MSC: 60G51, 60J35, 46F10, 47G30

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-74-87

Основным объектом исследования являются полугруппы операторов, соответствующие стохастическим процессам Леви. Изучена связь рассматриваемых полугрупп с псевдодифференциальными операторами ($\Psi D$-операторами). На основе техники $\Psi D$-операторов показано, что генераторы полугрупп являются операторами с ядрами, принадлежащими пространству медленно растущих распределений. Построена классификация задач Коши для уравнений с операторами из специального подкласса $\Psi D$-операторов с полиномиально ограниченными символами. Построенная классификация является расширением классификации Гельфанда — Шилова для дифференциальных систем. В расширенной классификации задачи Коши с генераторами, отвечающими процессам Леви, являются корректными по Петровскому.

Ключевые слова: процесс Леви, переходная вероятность, полугруппа операторов, псевдо-дифференциальный оператор, формула Леви — Хинчина

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Трев Ф. Введение в теорию псевдодифференциальных операторов и интегральных операторов Фурье: в 2 т. Т. 1: Псевдодифференциальные операторы. М.: Мир, 1984. 360 c.

2.   Applebaum D. Levy processes and stochastic calculus. Cambridg: Cambridge University Press, 2009. 492 p. (Cambridge Studies in Advanced Math.; vol. 116). doi: 10.1017/CBO9780511809781 

3.   Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1958. 276 с.

4.   Böttcher B., Schilling R., Wang J. Levy matters III. Levy-type processes: construction, approximation and sample path properties. Cham; Heidelberg; NY; Dordrecht; London: Springer, 2013. 199 p. doi: 10.1007/978-3-319-02684-8 

5.   Булинский А.В., Ширяев А.Н. Теория случайных процессов. М.: Физматлит, 2005. 408 с.

6.   Sato K.-I. Levy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 536 p.

7.   Балакришнан А.В. Прикладной функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 383 с.

8.   Kolokoltsov V.N. Markov processes, semigroups and generators. Berlin; NY: De Gruyter, 2011. 430 p. (De Gruyter Studies in Math.; vol. 38). doi: 10.1515/9783110250114 

9.   Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. Т. 1. М: Мир, 1986. 464 с.

10.   Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol. 4: Analysis of operators. NY; London: Acad. Press, 1978. 325 p.

11.   Jacob N. Pseudo-differential operators and Markov processes. Vol. 1. London: Imperial College Press, 2001. 493 p.

12.   Melnikova I.V. Stochastic Cauchy problems in infinite dimensions. Regularized and generalized solutions. NY: CRC Press, 2016. 306 p. doi: 10.1201/9781315372631 

13.   Ануфриева У.А., Мельникова И.В. Особенности и регуляризация некорректных задач Коши с дифференциальными операторами // Современная математика. Фундаментальные направления. 2005. T. 14. C. 3–156.

14.   Reed M., Simon B. Methods of modern mathematical physics. Vol.  2: Fourier analysis, self-adjointness. NY; London: Acad. Press, 1975. 384 p.

Поступила 27.02.2021

После доработки 1.09.2021

Принята к публикации 6.09.2021

Мельникова Ирина Валерьяновна
д-р физ.-мат. наук, профессор
профессор кафедры математического анализа
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: Irina.Melnikova@urfu.ru

Бовкун Вадим Андреевич
канд. физ.-мат. наук
доцент кафедры математического анализа
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: Vadim.Bovkun@urfu.ru

Ссылка на статью: И.В. Мельникова, В.А. Бовкун. Полугруппы операторов, связанные со случайными процессами, в расширении классификации Гельфанда — Шилова // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 74-87

English

I.V. Melnikova, V.A. Bovkun. Semigroups of operators related to stochastic processes in an extension of the Gelfand–Shilov classification

Semigroups of operators corresponding to stochastic Levy processes are considered, and their connection with pseudo-differential ($\Psi D$) operators is studied. It is shown that the semigroup generators are $\Psi D$-operators and operators with kernels from the space of slowly growing distributions. A classification of Cauchy problems is constructed for equations with operators from a special class of $\Psi D$-operators with polynomially bounded symbols. The constructed classification extends the Gelfand–Shilov classification for differential systems. In the extended classification, Cauchy problems with generators corresponding to Levy processes are well-posed in the sense of Petrovskii.

Keywords: Levy process, transition probability, semigroup of operators, pseudo-differential operator, Levy–Khintchine formula

Received February 27, 2021

Revised September 1, 2021

Accepted September 6, 2021

Irina V. Melnikova, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: Irina.Melnikova@urfu.ru

Vadim Andreevich Bovkun, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: Vadim.Bovkun@urfu.ru

Cite this article as: I.V. Mel’nikova, V.A. Bovkun. Semigroups of operators related to stochastic processes in an extension of the Gelfand–Shilov classification, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 74–87.

[References -> on the "English" button bottom right]