М.В. Бабенко, В.В. Чермных. Пирсовские слои полуколец косых многочленов ... С. 48-60

УДК 512.55

MSC: 16Y60

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-48-60

Известно, что произвольное полукольцо с единицей изоморфно полукольцу сечений своего пирсовского пучка. Конструкция  пучка Пирса активно использовалась при изучении алгебр с нетривиальным множеством центральных идемпотентов. В частности, имеется много результатов, в которых  кольцо или полукольцо описываются в терминах их пирсовских слоев. В статье изучаются полукольца с некоторыми дополнительными свойствами на аннуляторы, такие как риккартовы, строго риккартовы, квазибэровские полукольца. Основным объектом статьи является полукольцо косых многочленов $R=S[x,\varphi]$ над полукольцом $S$. Пусть $R$ - строго риккартово, риккартово без нильпотентных элементов или квазибэровское полукольцо, эндоморфизм $\varphi$ является инъективным или  жестким. Нами получены характеризации полукольца $R$. При этом устанавливаются связи $R$ со свойствами полукольца $S$ и пирсовских слоев полукольца $R$ или $S$.

Ключевые слова: полукольцо косых многочленов, пирсовские слои, риккартово полукольцо, квазибэровское полукольцо

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Pierce R.S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. Vol. 70. P. 1–112. doi: 10.1090/memo/0070 

2.   Burgess W.D., Stephenson W. Pierce sheaves of non-commutative rings // Comm. Algebra. 1976. Vol. 39. P. 512–526. doi: 10.1080/00927877608822094 

3.   Burgess W.D., Stephenson W. Rings all of whose Pierce stalks are local // Canad. Math. Bull. 1979. Vol. 22, no 2. P. 159–164. doi: 10.4153/CMB-1979-022-8 

4.   Beidar K.I., Mikhalev A.V. and Salavova C. Generalized identities and semiprime rings with involution // Math. Z. 1981. Vol. 178. P. 37–62. doi: 10.1007/BF01218370 

5.   Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. М.: МЦНМО. 2009. 472 с.

6.   Чермных В.В. Пучковые представления полуколец // Успехи мат. наук. 1993. Т. 48, № 5. С. 185–186. doi: 10.1070/RM1993v048n05ABEH001078 

7.   Марков Р.В., Чермных В.В. О пирсовских слоях полуколец // Фундамент. и прикл. математика. 2014. Т. 19, № 2. С. 171–186. doi: 10.1007/s10958-016-2713-5 

8.   Марков Р.В., Чермных В.В. Полукольца, близкие к регулярным, и их пирсовские слои // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2015. Т.  21, № 3. С. 213–221.

9.   Марков Р.В., Чермных В.В. Пирсовские цепи полуколец // Вест. Сыктывкар. ун-та. 2012. Вып. 16. С. 88–103.

10.   Vechtomov E.M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences. 1995. Vol. 74, no. 1. P. 749–798. doi: 10.1007/BF02362842 

11.   Чермных В.В. Функциональные представления полуколец // Фундамент. и прикл. математика. 2012. Т. 17, № 3. С. 111–227. doi: 10.1007/s10958-012-1062-2 

12.   Clark W.E. Twisted matrix units semigroup algebras // Duke Math. J. 1967. Vol. 34. P. 417–424. doi:10.1215/S0012-7094-67-03446-1 

13.   Масляев Д.А., Чермных В.В. Полукольца косых многочленов Лорана // Сиб. электрон. мат. изв. 2020. Т. 17. С. 521–533. doi: 10.33048/semi.2020.17.033 

14.   Вечтомов Е.М. О булевых кольцах // Мат. заметки. 1986. Т. 39, № 2. С. 182–185. doi: 10.1007/BF01159890 

15.   Общая алгебра. Т. 2. / ред. Л. А. Скорняков. М.: Наука. 1991. 480 с.

Поступила 8.04.2021

После доработки 13.05.2021

Принята к публикации 15.06.2021

Бабенко Марина Владимировна
старший преподаватель
Вятский государственный университет
г. Киров
e-mail: marinka_ov@mail.ru

Чермных Василий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, доцент
главный науч. сотрудник
Сыктывкарский государственный университет им. Питирима Сорокина
г. Сыктывкар
e-mail: vv146@mail.ru

Ссылка на статью: М.В. Бабенко, В.В. Чермных. Пирсовские слои полуколец косых многочленов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 48-60

English

M.V. Babenko, V.V. Chermnykh. Pierce stalks of semirings of skew polynomials

It is known that an arbitrary semiring with unity is isomorphic to the semiring of sections of its Pierce sheaf. The structure of the Pierce sheaf was actively used in the study of algebras with a nontrivial set of central idempotents. In particular, there are many results in which rings or semirings are described in terms of their Pierce stalks. Semirings with some additional conditions on the annihilators such as Rickart, strongly Rickart, and quasi-Baer semirings are studied in the paper. The main object of study is a semiring $R=S[x,\varphi]$ of skew polynomials over the semiring $S$. Let $R$ be a strongly Rickart, Rickart without nilpotent elements, or quasi-Baer semiring, and let an endomorphism $\varphi$ be injective or rigid. Characterizations of the semiring $R$ are obtained. Connections are established between $R$ and the properties of the semiring $S$ and the Pierce stalks of the semiring $R$ or $S$.

Keywords: semiring of skew polynomials, Pierce stalks, Rickart semiring, quasi-Baer semiring

Received April 8, 2021

Revised May 13, 2021

Accepted June 15, 2021

Marina Vladimirovna Babenko, Vyatka State University, Kirov, 610000 Russia, e-mail: marinka_ov@mail.ru

Vasiliy Vladimirovich Chermnykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Pitirim Sorokin Syktyvkar State University, Syktyvkar, 167001 Russia, e-mail: vv146@mail.ru

Cite this article as: M.V. Babenko, V.V. Chermnykh. Pierce stalks of semirings of skew polynomials, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 48–60.

[References -> on the "English" button bottom right]