Н.Ю. Антонов, А.Н. Лукоянов. Порядковые оценки констант Лебега сумм Фурье в пространствах Орлича ... С. 35-47

УДК 517.518.45

MSC: 42A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-35-47

В работе рассматривается задача о порядковых оценках норм частичных сумм тригонометрических рядов Фурье как операторов из пространств Орлича $L^{\varphi}_{2\pi}$ в пространство $2\pi$-периодических непрерывных функций $C_{2\pi}$. Установлено, что для произвольной порождающей класс Орлича функции $\varphi$ справедлива оценка
$$
||S_n(f)||_{C_{2\pi}} \le C \varphi ^{-1} (n) \ln (n+1) ||f||_{L^{\varphi}_{2\pi}}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (\ast )
$$
где $f \in L^{\varphi}_{2\pi}$, $ n \in \mathbb{N}$, $S_n(f)$ - $n$-я частичная сумма тригонометрического ряда Фурье функции $f$, а константа $C>0$ не зависит от $f$ и от $n$. Кроме того, показано, что если   функция $\varphi$ удовлетворяет  $\Delta_2$-условию, то оценка ($\ast $) может быть улучшена. А именно, справедливо неравенство
$$
||S_n(f)||_{C_{2\pi}} \le C \varphi ^{-1} (n)  ||f||_{L^{\varphi}_{2\pi}}, \qquad f \in L^{\varphi}_{2\pi}, \,  n \in \mathbb{N}, \, C=C(\varphi ).  \qquad \qquad (\ast \ast )
$$
Далее в работе строятся контрпримеры, показывающие, что если $\varphi$ удовлетворяет  $\Delta_2$-условию, то на пространстве $ L^{\varphi}_{2\pi}$ оценка ($\ast \ast $) является не улучшаемой по порядку, а если $\varphi$ удовлетворяет  $\Delta^2$-условию, то на пространстве $ L^{\varphi}_{2\pi}$ не улучшаемой по порядку будет оценка ($\ast $).

Ключевые слова: ряд Фурье, пространства Орлича, константы Лебега

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: ГИМФЛ, 1961. 937 с.

2.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1965. 616 с.

3.   Красносельский М.А., Рутицкий Я.Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: ГИМФЛ, 1958. 272 с.

4.   Rao M.M., Ren Z.D. Theory of Orlicz spaces. NY: M. Dekker, 1991. 445 p.

5.   Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

Поступила 28.07.2021

После доработки 25.10.2021

Принята к публикации 27.05.2021

Антонов Николай Юрьевич
д-р физ.-мат. наук
зам. директора
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Nikolai.Antonov@imm.uran.ru

Лукоянов Александр Николаевич
магистрант
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: LiableFish@yandex.ru

Ссылка на статью: Н.Ю. Антонов, А.Н. Лукоянов. Порядковые оценки констант Лебега сумм Фурье в пространствах Орлича // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 35-47

English

N.Yu. Antonov, A.N. Lukoyanov. Order estimates for Lebesgue constants of Fourier sums in Orlicz spaces

We consider the problem of order estimates for partial sums of trigonometric Fourier series as operators from Orlicz spaces $L^{\varphi}_{2\pi}$ to the space of $2\pi$-periodic continuous functions $C_{2\pi}$. It is established that an arbitrary function $\varphi$ generating an Orlicz class satisfies the estimate
$$
||S_n(f)||_{C_{2\pi}} \le C \varphi ^{-1} (n) \ln (n+1) ||f||_{L^{\varphi}_{2\pi}}, \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad (\ast )
$$
where $f \in L^{\varphi}_{2\pi}$, $n \in \mathbb{N}$, $S_n(f)$ is the $n$th partial sum of the trigonometric Fourier series of $f$, and the constant $C>0$ is independent of $f$ and $n$. In addition, it is shown that if the function $\varphi$ satisfies the $\Delta_2$-condition, then the estimate can be improved. More exactly,
$$
||S_n(f)||_{C_{2\pi}} \le C \varphi ^{-1} (n) ||f||_{L^{\varphi}_{2\pi}}, \qquad f \in L^{\varphi}_{2\pi}, \, n \in \mathbb{N}, \, C=C(\varphi ). \qquad \qquad (\ast \ast )
$$
Counterexamples are constructed, which show that if $\varphi$ satisfies the $\Delta_2$-condition, then estimate ($\ast \ast $) is unimprovable in order on the space $L^{\varphi}_{2\pi}$ and, if $\varphi$ satisfies the $\Delta^2$-condition, then estimate ($\ast $) is unimprovable in order on the space $ L^{\varphi}_{2\pi}$.

Keywords: Fourier series, Orlicz space, Lebesgue constants

Received July 28, 2021

Revised October 25, 2021

Accepted October 27, 2021

Nikolay Yur’evich Antonov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Nikolai.Antonov@imm.uran.ru

Alexander Nikolaevich Lukoyanov, graduate student, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: LiableFish@yandex.ru

Cite this article as: N.Yu.Antonov, A.N.Lukoyanov. Order estimates for Lebesgue constants of Fourier sums in Orlicz spaces, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 35–47.

[References -> on the "English" button bottom right]