А.Ф. Албу, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов. Использование оптимизационных методов второго порядка для решения обратной коэффициентной задачи в трехмерной постановке ... С. 19-34

УДК 517.626

MSC: 49M05, 49N45

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-19-34

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 21-71-30005).

Рассматривается обратная задача определения зависящего от температуры коэффициента теплопроводности вещества. Рассмотрение проводится на основе первой краевой задачи для трехмерного нестационарного уравнения теплопроводности. Образец исследуемого вещества имеет форму прямого параллелепипеда. Обратная коэффициентная задача сводится к вариационной задаче. В качестве целевого функционала выбрано среднеквадратичное отклонение рассчитываемого теплового потока на поверхности тела от экспериментально полученного потока. В работе исследуется возможность решения вариационной задачи оптимизационными методами второго порядка сходимости. На примере ряда нелинейных задач, коэффициенты которых зависят от температуры, проведен сравнительный анализ решения этих задач с помощью градиентного метода и метода Левенберга — Марквардта. Точность вычисления элементов матрицы типа Якоби, требуемой для реализации метода Левенберга — Марквардта, оказывает существенное влияние на сходимость итерационного процесса. Существенным в предлагаемом нами подходе является то, что элементы матрицы типа Якоби вычисляются с машинной точностью благодаря использованию методологии быстрого автоматического дифференцирования. Большое внимание в работе уделяется особенностям решения обратной задачи, связанным с ее трехмерным пространственным характером.

Ключевые слова: обратные коэффициентные задачи, нелинейные задачи, трехмерное уравнение теплопроводности, оптимальное управление, численные методы оптимизации, схемы переменных направлений

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Коздоба Л. А., Круковский П. Г.  Методы решения обратных задач теплопереноса.  Киев:  Наукова Думка, 1982. 358 с.

2.   Алифанов О. М. Обратные задачи теплообмена. М: Машиностроение, 1988. 280 с.

3.   Вабищевич П. Н., Денисенко А. Ю. Численные методы решения коэффициентных обратных задач // Методы мат. моделирования и вычислительной диагностики. М.: Изд-во МГУ. 1990. С. 35–45.

4.   Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Разностные методы решения обратных задач математической физики // Фундаментальные основы мат. моделирования. М.: Наука. 1997. С. 5–97.

5.   Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача. М.: Едиториал УРСС, 2003. 784 с.

6.   Марчук Г. И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992. 334 с.

7.   Balazs Czel, Gyula Grof. Inverse identification of temperature-dependent thermal conductivity via genetic algorithm with cost function-based rearrangement of genes // Int. J. Heat Mass Transf. 2012. Vol. 55, no. 15. P. 4254–4263. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2012.03.067 

8.   Miao Cui, Kai Yang, Xiao-liang Xu, Sheng-dong Wang, Xiao-wei Gao. A modified Levenberg–Marquardt algorithm for simultaneous estimation of multi-parameters of boundary heat flux by solving transient nonlinear inverse heat conduction problems // Int. J. Heat Mass Transf. 2016. Vol. 97. P. 908–916. doi: 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.02.085 

9.   Matsevityi Yu. M., Alekhina S. V., Borukhov V. T., Zayats G. M., Kostikov A. O. Identification of the thermal conductivity coefficient for quasi-stationary two-dimensional heat conduction equations // J. Eng. Phys. Thermophysics. 2017. Vol. 90, no. 6. P. 1295–1301.
doi: 10.1007/s10891-017-1686-7 

10.   Албу А. Ф., Зубов В. И. Идентификация коэффициента теплопроводности вещества в трехмерном случае путем решения соответствующей задачи оптимизации // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2021. Т. 61, № 9. С. 1447–1463. doi: 10.31857/S0044466921090040 

11.   Албу А. Ф., Зубов В. И. Определение коэффициента теплопроводности вещества по тепловому потоку на поверхности трехмерного тела // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2021. Т. 61, № 10. С. 1594–1609. doi: 10.31857/S0044466921100033 

12.   Евтушенко Ю. Г. Оптимизация и быстрое автоматическое дифференцирование. М.: Изд-во ВЦ им. А. А. Дородницына РАН, 2013. 144 с.

Поступила 17.05.2021

После доработки 10.06.2021

Принята к публикации 28.06.2021

Албу Алла Филипповна
д-р. физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление”
Российской академии наук
г. Москва
e-mail: alla.albu@mail.ru

Евтушенко Юрий Гаврилович
академик РАН
главный науч. сотрудник
Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление”
Российской академии наук
г. Москва
e-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru

Зубов Владимир Иванович
д-р. физ.-мат. наук
главный науч. сотрудник
Федеральный исследовательский центр “Информатика и управление”
Российской академии наук
г. Москва
e-mail: vladimir.zubov@mail.ru

Ссылка на статью: А.Ф. Албу, Ю.Г. Евтушенко, В.И. Зубов. Использование оптимизационных методов второго порядка для решения обратной коэффициентной задачи в трехмерной постановке // Тр. Ин-та  математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 4. С. 19-34

English

A.F. Albu, Yu.G. Evtushenko, V.I. Zubov. Application of second-order optimization methods for solving an inverse coefficient problem in the three-dimensional statement

An inverse problem of finding a temperature-dependent thermal conductivity coefficient of a substance is considered. The analysis is based on the first boundary value problem for the three-dimensional nonstationary heat equation. The sample of the substance under investigation has the form of a rectangular parallelepiped. The inverse coefficient problem is reduced to a variational problem. The root-mean-square deviation of the calculated heat flux on the surface of the body from the experimentally obtained flux is chosen as the cost functional. The paper investigates the possibility of solving the variational problem by optimization methods of the second order of convergence. On the example of a number of nonlinear problems whose coefficients are temperature-dependent, a comparative analysis of the solution of these problems by means of the gradient method and the Levenberg–Marquardt method is carried out. The accuracy of calculating the elements of the Jacobi-type matrix required to implement the Levenberg–Marquardt method has a significant impact on the convergence of the iterative process. It is essential that in our approach the elements of the Jacobi-type matrix are calculated with machine precision due to the use of the fast automatic differentiation technique. Much attention is paid to the features of solving the inverse problem associated with its three-dimensional spatial nature.

Keywords: inverse coefficient problems, nonlinear problems, three-dimensional heat equation, optimal control, numerical optimization methods, alternating direction schemes

Received May 10, 2021

Revised June 17, 2021

Accepted June 28, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no.  21-71-30005).

Alla Filippovna Albu, Dr. Phys.-Math. Sci., Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119333 Russia, e-mail: alla.albu@mail.ru

Yury Gavrilovich Evtushenko, Academician RAS, Prof., Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119333 Russia, e-mail: yuri-evtushenko@yandex.ru

Vladimir Ivanovich Zubov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Federal Research Center “Computer Science and Control” of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119333 Russia, e-mail: vladimir.zubov@mail.ru

Cite this article as: A.F. Albu, Yu.G. Evtushenko, V.I. Zubov. Application of second-order optimization methods for solving an inverse coefficient problem in the three-dimensional statement, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 19–34.

[References -> on the "English" button bottom right]