W. Guo, A.S. Kondrat’ev, N.V. Maslova. Recognition of the Group $E_6(2)$ by Gruenberg–Kegel Graph ... P. 263-268

MSC: 20D06, 20D20, 20D60, 20C20, 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-4-263-268

The Gruenberg-Kegel graph (or the prime graph) of a finite group $G$ is a simple graph $\Gamma(G)$ whose vertices are the prime divisors of the order of $G$, and two distinct vertices $p$ and $q$ are adjacent in $\Gamma(G)$ if and only if $G$ contains an element of order $pq$. A finite group is called recognizable by Gruenberg-Kegel graph if it is uniquely determined up to isomorphism in the class of finite groups by its Gruenberg-Kegel graph. In this paper, we prove that the finite simple exceptional group of Lie type $E_6(2)$ is recognizable by its Gruenberg-Kegel graph.

Keywords: finite group, simple group, exceptional group of Lie type, Gruenberg-Kegel graph (prime graph).

REFERENCES

1.   Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985, 252 p.

2.   Gerono G.C. Note sur la resolution en nombres entiers et positifs del’equation $x^m=y^n+1$. Nouv. Ann. Math. (2), 1870, vol. 9, pp. 469–471.

3.  Gorenstein D. Finite groups. New York:  Harper and Row, 1968, 642 p.

4.   Gorenstein D., Lyons R., Solomon R. The classication of the finite simple groups. Number 3. Part I. Math. Surveys Monogr., vol. 40, no. 3, Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998, 420 p.

5.   Iiyori N., Yamaki H. Prime graph components of the simple groups of Lie type over the fields of even characteristic. J. Algebra, 1993, vol. 155, no. 2, pp. 335–343, doi: 10.1006/jabr.1993.1048; corrigenda; J. Algebra, 1996, vol. 181, no. 2, pp. 659.

6.   Jansen C., Lux K., Parker R., Wilson R. An atlas of Brauer characters. Oxford: Clarendon Press, 1995. 327 p.

7.   Kondrat’ev A.S. Prime graph components of finite simple groups. Math. USSR Sb., 1990, vol. 67, no. 1, pp. 235–247. doi: 10.1070/SM1990v067n01ABEH001363 

8.   Kondrat’ev A.S., Mazurov V.D. Recognition of alternating groups of prime degree from the orders of their elements. Siberian. Math. J., 2000, vol. 41, no. 2, pp. 294–302. doi: 10.1007/BF02674599 

9.   Mazurov V.D. The set of orders of elements in a finite group. Algebra and Logic, 1994, vol. 33, no. 1, pp. 49–55. doi: 10.1007/BF00739417 

10.   Vasil’ev A.V., Gorshkov I.B. On recognition of finite simple groups with connected prime graph. Siberian Math. J., 2009, vol. 50, no. 2, pp. 233–238. doi: 10.1007/s11202-009-0027-2 

11.   Vasil’ev A.V., Vdovin E.P. An adjacency criterion for the prime graph of a finite simple group. Algebra and Logic, 2005, vol. 44, no. 6, pp. 381–406. doi: 10.1007/s10469-005-0037-5 

12.   Vasil’ev A.V., Vdovin E.P. Cocliques of maximal size in the prime graph of a finite simple group. Algebra and Logic, 2011, vol. 50, no. 4, pp. 291–322. doi: 10.1007/s10469-011-9143-8 

13.   Williams J. S. Prime graph components of finite groups. J. Algebra, 1981, vol. 69, no. 2, pp. 487–513. doi: 10.1016/0021-8693(81)90218-0 

14.   Zavarnitsine A.V. Finite groups with a five-component prime graph. Siberian Math. J., 2013, vol. 54, no. 1, pp. 40–46. doi: 10.1134/S0037446613010060 

15.   Zsigmondy K. Zur Theorie der Potenzreste. Monatsh. Math. Phys., 1892, vol. 3, no. 1, pp. 265–284. doi: 10.1007/BF01692444 

Received August 19, 2021

Revised September 13, 2021

Accepted September 17, 2021

Funding Agency: The work is supported by the National Natural Science Foundation of China (project No. 12171126), by Wu Wen-Tsun Key Laboratory of Mathematics of Chinese Academy of Sciences, and by the Regional Scientific and Educational Mathematical Center “Ural Mathematical Center” under the agreement No. 075-02-2021-1387 with the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation.

Wenbin Guo, Dr. Phys.-Math. Sci., Hainan University, School of Science, Haikou, Hainan, 570228 China; University of Science and Technology of China, Department of Mathematics, Hefei, 230026 China, e-mail: wbguo@ustc.edu.cn

Anatolii Semenovich Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Ural Mathematical Center, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Natalia Vladimirovna Maslova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia; Ural Mathematical Center, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: butterson@mail.ru

Cite this article as: W. Guo, A.S. Kondrat’ev, N.V. Maslova. Recognition of the Group E6(2) by Gruenberg–Kegel Graph, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 4, pp. 263–268.

Русский

В. Го, А.С. Кондратьев, Н.В. Маслова. Распознаваемость группы  $E_6(2)$ по графу Грюнберга — Кегеля

Граф Грюнберга - Кегеля (или граф простых чисел) конечной группы $G$ - это обыкновенный граф $\Gamma(G)$, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. Конечная группа называется распознаваемой по графу Грюнберга - Кегеля, если она однозначно с точностью до изоморфизма определяется своим графом Грюнберга -Кегеля в классе конечных групп. В этой работе мы доказываем, что конечная простая исключительная группа лиева типа $E_6(2)$ распознаваема по графу Грюнберга - Кегеля.

Ключевые слова: конечная группа, простая группа, исключительная группа лиева типа, граф Грюнберга - Кегеля (граф простых чисел)