М.И. Гусев. О методе штрафных функций для управляемых систем с фазовыми ограничениями при интегральных ограничениях на управление ... С. 59-70

УДК 517.977.1

MSC: 93B03, 93C15

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-59-70

В статье рассматривается нелинейная управляемая система с фазовыми ограничениями, линейная по управляющим переменным. Ограничения на управление заданы квадратичным интегральным неравенством. Для приближенного построения множества достижимости предлагается процедура снятия фазовых ограничений. Эта процедура основана на введении вспомогательной управляемой системы без ограничений, правая часть которой зависит от малого параметра. При некоторых условиях на поведение скоростей системы на границе фазовых ограничений доказана сходимость множеств достижимости вспомогательной системы к множеству достижимости исходной системы в хаусдорфовой метрике при стремлении малого параметра к нулю. Приведены результаты численного моделирования.

Ключевые слова: управляемая система, интегральные ограничения, множество достижимости, фазовые ограничения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Куржанский А.Б., Филиппова Т.Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Дифференц.уравнения. 1987. Т. 23, № 8. С. 1303–1315.

2.   Асеев С.М. Задача оптимального управления для дифференциального включения с фазовым ограничением. Гладкие аппроксимации и необходимые условия оптимальности// Тр. Междунар. конф., посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 31 августа — 6 сентября 1998 г.) Т. 3: Геометрическая теория управления. Итоги науки и техники. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. М.: ВИНИТИ, 1999. Т. 64. С. 57–81.

3.   Gusev M.I. On reachability analysis for nonlinear control systems with state constraints // DCDS Suppl. 2015. Vol. 2015, Iss. special. P. 579–587. doi: 10.3934/proc.2015.0579 

4.   Bressan A., Facchi G. Trajectories of differential inclusions with state constraints // J. Diff. Eq. 2011. Vol. 250, no. 4. С. 2267–2281. doi: 10.1016/j.jde.2010.12.021 

5.   Гусев М.И. О методе штрафных функций в задаче построения множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 1. С. 81–86.

6.   Гусев М.И. Внутренние аппроксимации множеств достижимости управляемых систем с фазовыми ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 4. С. 73–88.

7.   Дарьин А.Н., Куржанский А.Б. Управление в условиях неопределенности при двойных ограничениях // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 39, № 11. C. 1474–1486.

8.   Субботин А.И., Ушаков В.Н. Альтернатива для дифференциальной игры сближения-уклонения при интегральных ограничениях на управления игроков // Прикл. математика и механика. 1975. Т. 39, № 3. С. 387–396.

9.   Ухоботов В.И. Об одном классе дифференциальных игр с интегральными ограничениями // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 5. С. 819–824.

10.   Polyak B.T. Сonvexity of the reachable set of nonlinear systems under l2 bounded controls // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems Ser. A: Math. Anal. 2004. Vol. 11, no. 2-3. С. 255–267.

11.   Huseyin N., Huseyin A. Compactness of the set of trajectories of the controllable system described by an affineintegral equation // Appl. Math. Comp. 2013. Vol. 219, no. 16. P. 8416–8424 . doi: 10.1016/j.amc.2013.03.005 

12.   Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Diff. Eq. Appl. 2007. Vol. 14, no. 1-2. P. 57–73. doi: 10.1007/s00030-006-4036-6 

13.   Guseinov Kh.G. Approximation of the attainable sets of the nonlinear control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. 2009. Vol. 71, iss. 1-2. P. 622–645. doi: 10.1016/j.na.2008.10.097 

14.   Kostousova E.K. State estimates of bilinear discrete-time systems with integral constraints through polyhedral techniques // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P.  245–250. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.389 

15.   Rousse Р., Garoche P.L., Henrion D. Parabolic set simulation for reachability analysis of linear time-invariant systems with integral quadratic constraint // European J. Control. 2021. Vol. 58. P. 152–167. doi: 10.1016/j.ejcon.2020.08.002 

16.   Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. Управление и оценивание состояний динамических систем с неопределенностью. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2018. 193 с.

17.   Sontag E.D. A “universal” construction of Artstein’s theorem on nonlinear stabilization // System and Control Letters 1989. Vol. 13, no. 2. P. 117–123. doi: 10.1016/0167-6911(89)90028-5 

18.   Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes. Theory and computation. Basel: Birkhauser, 2014. 445 p. (Ser. Systems & Control: Foundations & Applications, Book 85.) doi: 10.1007/978-3-319-10277-1 

19.   Baier R., Gerdts M., Xausa I. Approximation of reachable sets using optimal control algorithms // Numerical Algebra, Control and Optimization. 2013. Vol. 3, no. 3. P. 519–548. doi: 10.3934/naco.2013.3.519 

20.   Helsen R., Van Kampen E.-J., De Visser C., Chu Q.P. Distance-fields-over-grids method for aircraft envelope determination // J. Guidance Control and Dynamics. 2016. Vol. 39, no. 7. P. 1–11. doi: 10.2514/1.G000824 

21.   Rasmussen M., Rieger J., Webster K.N. Approximation of reachable sets using optimal control and support vector machines // J. Comp. Appl. Math. 2017. Vol. 311. P. 68–83. doi: 10.1016/j.cam.2016.06.015 

22.   Subbotin A.I. Generalized solutions of first-order PDE’s. The Dynamic optimization Perspective. Birkhauser, Boston, 1995, 314 p. doi:10.1007/978-1-4612-0847-1 

23.   Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal control and viscosity solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman equations. Boston: Birkhauser, 1997. 574 p. doi: 10.1007/978-0-8176-4755-1 

Поступила 31.05.2021

После доработки 15.06.2021

Принята к публикации 2.08.2021

Гусев Михаил Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: gmi@imm.uran.ru

Ссылка на статью: М.И. Гусев. О методе штрафных функций для управляемых систем с фазовыми ограничениями при интегральных ограничениях на управление // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 59-70

English

M.I. Gusev. On the method of penalty functions for control systems with state constraints under integral constraints on the control

We consider a nonlinear control system with state constraints. The system is linear in the control variables, and the control constraints are given by a quadratic integral inequality. A procedure for eliminating the state constraints is proposed for the approximate construction of the reachable set. The procedure is based on introducing an auxiliary unconstrained control system whose right-hand side depends on a small parameter. Under certain conditions on the behavior of the velocities of the system at the boundary of the state constraints, we prove the convergence of the reachable sets of the auxiliary system to the reachable set of the original system in the Hausdorff metric as the small parameter tends to zero. The results of numerical simulation are presented.

Keywords: control system, integral constraints, reachable set, state constraints

Received May 31, 2021

Revised June 15, 2021

Accepted August 2, 2021

Mikhail Ivanovich Gusev, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: gmi@imm.uran.ru

Cite this article as: M.I. Gusev. On the method of penalty functions for control systems with state constraints under integral constraints on the control, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 59–70.

[References -> on the "English" button bottom right]