В.И. Жуковский, К.Н. Кудрявцев. Об одном гибридном равновесии ... С. 71-86

УДК 519.833

MSC: 91A06, 91A10

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-71-86

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Челябинской области в рамках научного проекта № 20-41-740027.

Для бескоалиционной игры N лиц предлагается понятие BN-гибридного равновесия. Предполагается, что каждый игрок принадлежит к одному из двух классов: к альтруистам или прагматично настроенным игрокам. Предполагается, что, выбирая свою стратегию, альтруистические игроки придерживаются концепции равновесия по Бержу, а остальные игроки используют концепцию равновесия по Нэшу. С помощью специальным образом сконструированной на основе функций выигрыша свертки Гермейера получены достаточные условия существования указанного равновесия. Для смешанного расширения игры доказывается теорема существования BN-гибридного равновесия при “стандартных” для математической теории игр ограничениях, а именно выпуклой компактности множеств стратегий игроков и непрерывности их функций выигрыша. Предложенное понятие распространяется на бескоалиционные игры N лиц при интервальной неопределенности. Приводится теорема существования сильно гарантированного BN-гибридного равновесия в смешанных стратегиях.

Ключевые слова: равновесие по Нэшу, равновесие по Бержу, неопределенность, свертка Гермейера

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Nash J. Equillibrium points in N-person games // Proc. Nat. Academ. Sci. USA. 1950. Vol. 36, no. 1. P. 48–49. doi: 10.1073/pnas.36.1.48 

2.   Nash J. Non-cooperative games // Ann. Mathematics. 1951. Vol. 54, no. 2. P. 286–295. doi: 10.2307/1969529 

3.   Zhukovskiy V.I. Some problems of non-antagonistic differential games // Mathematical Methods in Operations Research: Proc. / ed. P. Kenderov. Sofia: Bulgaria Academy of Sciences, 1985. P. 103–195.

4.   Berge C. Theorie generale des jeux a n personnes. Paris: Gauthier-Villar, 1957. 114 p.

5.   Вайсман К.С. Равновесие по Бержу: автореф. дис. …канд. физ.-мат. наук. СПб: Изд-во C.-Петерб. гос. ун-та, 1995.

6.   Вайсман К.С. Равновесие по Бержу в одной дифференциальной игре // Сложные динамические системы: сб. науч. тр. Псков: Изд-во Псков. педагог. ин-та, 1994. С. 58–63.

7.   Вайсман К.С. Существование гарантированного равновесия по Бержу в одной дифференциальной игре // Понтрягинские чтения–VI: тез. докл. Воронеж, 1995. С. 19.

8.   Вайсман К.С., Аймуханов Н.Ж. Равновесие по Бержу в дифференциально-разностной игре // Сложные управляемые системы: межвуз. сб. науч. тр. М.: РосЗИТЛП, 1996. С. 90–93.

9.   Вайсман К.С., Жуковский В.И. Свойства равновесия по Бержу // Тезисы докл. V школы “Математические проблемы экологии”. Чита, 1994. С. 27–28.

10.   Вайсман К.С., Жуковский В.И. Структура равновесных по Бержу решений // Тезисы докл. ВМШ “Понтрягинские чтения–V”. Воронеж, 1994. С. 29.

11.   Zhukovskiy V.I., Vaisman K.S. About one solution in non-cooperative game // Game Theory and Economics: Abstr. of N.N. Vorob’ev Memorial Conf. St.-Petersburg, 1996. P. 77.

12.   Гусейнов А.А., Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Математические основы Золотого правила. Теория нового, альтруистического уравновешивания конфликтов в противоположность “эгоистическому” равновесию по Нэшу. М.: URSS, 2016. 280 с.

13.   Bryant J. A simple rational expectations Keynes type model // Quarterly J. Economics. 1983. Vol. 98, no. 3. P. 525–529. doi: 10.2307/1886025 

14.   Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Парето-равновесные ситуации: достаточные условия и существование в смешанных стратегиях // Математическая теории игр и ее приложения. 2015. Т. 7, № 1. С. 74–91.

15.   Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Математические основы Золотого правила. I. Статический вариант // Математическая теории игр и ее приложения 2015. Т. 7. № 3. С. 16–47.

16.   Zhukovskiy V.I., Zhukovskaya L.V., Kudryavtsev K.N., Larbani M. Strong coalitional equilibria in games under uncertainty // Вест. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. Т. 30, № 2. С. 189–207. doi: 10.35634/vm200204 

17.   Гермейер Ю.Б. Введение в теорию исследования операций. М.: Наука, 1971. 383 p.

18.   Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. 327 с.

19.   Морозов В.В, Сухарев А.Г., Федоров В.В. Исследование операций в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1986. 285 с.

20.   Borel E. La theorie du jeu et les equations integrales a noyau symetrique // Compes Rendus de l’Academic des Sciences. 1921. Vol. 173. P. 1304–1308.

21.   Neumann J. von Zur Theorie der Gesellschaftspiele // Math. Ann. 1928. Vol. 100. P. 295–320.

22.   Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1969.

23.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

24.   Дмитрук А.В. Выпуклый анализ. Элементарный вводный курс. М.: МАКС-ПРЕСС, 2012. 520 p.

25.   Glicksberg I.L. A further generalization of the Kakutani fixed point theorem, with application to Nash equilibrium points // Proc. Amer. Math. Soc. 1952. Vol. 3, iss. 1. P. 170–174.

26.   Жуковский В.И., Кудрявцев К.Н. Уравновешивание конфликтов при неопределенности. II. Аналог максимина // Математическая теория игр и ее приложения. 2015. Т. 5, № 2. С. 3–45.

Поступила 21.04.2021

После доработки 28.05.2021

Принята к публикации 21.06.2021

Жуковский Владислав Иосифович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: zhkvlad@yandex.ru

Кудрявцев Константин Николаевич
канд. физ.-мат. наук, доцент
Южно-Уральский государственный университет (НИУ)
г. Челябинск
e-mail: kudrkn@gmail.com

Ссылка на статью: В.И. Жуковский, К.Н. Кудрявцев. Об одном гибридном равновесии // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 71-86

English

V.I. Zhukovskiy, K.N. Kudryavtsev. On one hybrid equilibrium

The notion of BN-hybrid equilibrium is proposed for a noncooperative N-person game. It is assumed that each player belongs to one of two classes: altruists and pragmatists. The altruists and the pragmatists choose their strategies using the concepts of the Berge equilibrium and the Nash equilibrium, respectively. Using a specially constructed Germeier convolution based on payoff functions, we obtain sufficient conditions for the existence of a BN-hybrid equilibrium. For an extension of the game with mixed strategies, a theorem on the existence of a BN-hybrid equilibrium is proved under constraints standard for mathematical game theory, namely, under the assumptions that the sets of the players’ strategies are convex and compact and their payoff functions are continuous. The proposed concept is extended to noncooperative N-person games under interval uncertainty. An existence theorem is given for a strongly guaranteed N-hybrid equilibrium in mixed strategies.

Keywords: Nash equilibrium, Berge equilibrium, uncertainty, Germeier convolution

Received April 21, 2021

Revised May 28, 2021

Accepted June 21, 2021

Funding Agency: This work was supported jointly by the Russian Foundation for Basic Research and Chelyabinsk Oblast (project no. 20-41-740027).

Vladislav Iosofovich Zhukovskiy, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119991 Russia, e-mail: zhkvlad@yandex.ru

Konstantin Nikolaevich Kudryavtsev, Cand. Sci. (Phys.-Math.), South Ural State University, Chelyabinsk, 454080 Russia, e-mail: kudrkn@gmail.com

Cite this article as: V.I. Zhukovskiy, K.N. Kudryavtsev. On one hybrid equilibrium, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 71–86.

[References -> on the "English" button bottom right]