П.А. Точилин, И.А. Чистяков. О построении разрывного кусочно-аффинного синтеза в задаче целевого управления ... С. 194-210

УДК 517.977

MSC: 93C10, 49L20, 34A38

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-194-210

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 19–01–00613а) и при содействии Московского центра фундаментальной и прикладной математики (соглашение №075-15-2019-1621).

В данной работе предложен новый метод приближенного решения задач разрешимости и синтеза управлений для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот метод основывается на кусочной линеаризации (гибридизации) уравнений, а также на использовании подхода динамического программирования и принципа сравнения. Основная идея состоит в построении кусочно-аффинных функций цены и позиционного управления специального вида. При этом рассмотрены случаи, когда указанные функции должны быть непрерывными либо могут иметь разрывы на определенных множествах в фазовом пространстве. В обоих случаях получены внутренние оценки множеств разрешимости исходной нелинейной системы, а также управление в форме обратной связи, которое переводит фазовый вектор системы в целевое множество на заданном конечном интервале времени.

Ключевые слова: нелинейная динамика, синтез управлений, динамическое программирование, принцип сравнения, линеаризация, система с переключениями, кусочно-аффинная функция цены

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Куржанский А.Б. Принцип сравнения для уравнения типа Гамильтона-Якоби в теории управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12, no. 1. С. 173–183.

2.   Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes. Basel: Birkhauser, 2014. 445 p. (SCFA; vol. 85). doi: 10.1007/978-3-319-10277-1 

3.   Habets L.C.G.J.M., Collins P.J., van Schuppen J.H. Reachability and control synthesis for piecewise-affine hybrid systems on simplices // IEEE Trans. Automatic Control. 2006. Vol. 51, no. 6. P. 938–948. doi: 10.1109/TAC.2006.876952 

4.   Girard A., Martin S. Synthesis of constrained nonlinear systems using hybridization and robust controllers on simplices // IEEE Trans. Automatic Control. 2012. Vol. 57, no. 4. P. 1046–1051. doi: 10.1109/TAC.2011.2168874 

5.   Kurzhanski A.B., Varaiya P. The Hamilton–Jacobi equations for nonlinear target control and their approximation // Analysis and Design of Nonlinear Control Systems, Springer. 2007. P. 77–90. doi: 10.1007/978-3-540-74358-3_6 

6.   Субботин А.И. Обобщенные решения уравнений в частных производных первого порядка. Перспективы динамической оптимизации. Москва; Ижевск: НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, Ижевский институт компьютерных исследований, 2003. 336 c.

7.   Fleming W.H., Soner H.M. Controlled Markov processes and viscosity solutions. N Y: Springer, 2006. 429 p. doi: 10.1007/0-387-31071-1 

8.   Bardi M., Capuzzo-Dolcetta I. Optimal control and viscosity solutions of Hamilton–Jacobi–Bellman equations. Boston: Birkhauser, 2008. 570 p. (Systems & Control: Foundations & Applications).

9.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

10.   Tochilin P.A. Piecewise affine feedback control for approximate solution of the target control problem // IFAC-PapersOnLine. 2020. Vol. 53, iss. 2. P. 6127–6132. doi: 10.1016/j.ifacol.2020.12.1691 

11.   Чистяков И.А., Точилин П.А. Применение кусочно-квадратичных функций цены для приближенного решения нелинейной задачи целевого управления // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 11. С. 1545–1554.

12.   Asarin E., Dang T., Girard A. Hybridization methods for the analysis of nonlinear systems // Acta Informatica. Vol. 43, iss. 7. 2007. P. 451–476. doi: 10.1007/s00236-006-0035-7 

13.   Li D., Bak S., Bogomolov S. Reachability analysis of nonlinear systems using hybridization and dynamics scaling // Formal Modeling and Analysis of Timed Systems / eds. N. Bertrand, N. Jansen. N Y: Springer, 2020. (LNCIS; vol. 12288). doi: 10.1007/978-3-030-57628-8_16 

14.   Точилин П.А. О построении невыпуклых аппроксимаций множеств достижимости кусочно-линейной системы // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 11. С. 1503–1515.

15.   Точилин П.А. О построении кусочно-аффинной функции цены в задаче оптимального управления на бесконечном отрезке времени // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, no. 1. С. 223–238. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-223-238 

Поступила 30.03.2021

После доработки 22.05.2021

Принята к публикации 21.06.2021

Точилин Павел Александрович
канд. физ.-мат. наук
доцент факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: tochilin@cs.msu.ru

Чистяков Иван Александрович
аспирант факультета вычислительной математики и кибернетики
МГУ имени М.В. Ломоносова
г. Москва
e-mail: chistyakov.ivan@yahoo.com

Ссылка на статью: П.А. Точилин, И.А. Чистяков. О построении разрывного кусочно-аффинного синтеза в задаче целевого управления // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 194-210

English

P.A. Tochilin, I.A. Chistyakov. On the construction of a discontinuous piecewise affine synthesis in a target control problem

A new method is proposed for the approximate solution of problems of solvability and control synthesis for a nonlinear system of ordinary differential equations. The method is based on the piecewise linearization (hybridization) of equations and on the use of the dynamic programming approach and the comparison principle. The main idea is to construct piecewise affine value functions and a feedback control of a special form. Two cases are considered: when these functions are continuous and when they may have discontinuities on certain sets in the state space. In both cases, we obtain internal estimates for the solvability sets of the original nonlinear system and a feedback control that takes the system’s state vector to the target set on a given finite time interval.

Keywords: nonlinear dynamics, control synthesis, dynamic programming, comparison principle, linearization, switched system, piecewise affine value function

Received March 30, 2021

Revised May 22, 2021

Accepted June 21, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00613a) and by the Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics (agreement no. 075-15-2019-1621).

Pavel Aleksandrovich Tochilin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: tochilin@cs.msu.ru

Ivan Aleksandrovich Chistyakov, doctoral student, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics, Moscow, 119991 Russia, e-mail: chistyakov.ivan@yahoo.com

Cite this article as: P.A. Tochilin, I.A. Chistyakov. On the construction of a discontinuous piecewise affine synthesis in a target control problem, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 194–210.

[References -> on the "English" button bottom right]