А.Г. Ченцов. Метод программных итераций и проблема релаксации ... С. 211-226

УДК 517.9

MSC: 49J15, 49K15, 93C15, 49N70

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-3-211-226

Рассматриваются вопросы, связанные с дифференциальной игрой (ДИ) сближения-уклонения: альтернативная разрешимость, построение релаксаций игровой задачи сближения, конструкции решения на основе метода программных итераций (МПИ). Исследуется случай, когда в исходной ДИ при замкнутом целевом множестве (ЦМ) множество, определяющие фазовые ограничения (ФО), может не обладать замкнутостью в пространстве позиций, но имеет замкнутые сечения. Для упомянутой ситуации устанавливается альтернатива, подобная в идейном отношении альтернативе Красовского — Субботина при некоторой коррекции классов стратегий. Рассматривается вопрос о построении релаксаций задачи сближения с ЦМ при наличии ФО; при этом допускается, что ослабление условий в части приведения на ЦМ и в части соблюдения ФО может быть различным, что достигается посредством введения специального коэффициента приоритетности. При фиксации позиции игры определяется наименьший размер окрестности ЦМ, для которого при пропорциональном (в смысле упомянутого коэффициента) ослаблении ФО игрок, заинтересованный в сближении, еще может его гарантировать в надлежащем классе стратегий (здесь — неупреждающие стратегии или квазистратегии). Для получающейся таким образом основной функции позиции на основе варианта МПИ, действующего в пространстве множеств с элементами в виде позиций игры, вводится последовательность функций (позиции), сходящаяся к упомянутой основной функции. Позднее конструируется специальный оператор на пространстве функций (программный оператор), который реализует данную последовательность посредством “прямой” итерационной процедуры и для которого сама основная функция оказывается неподвижной точкой. Тем самым реализуется новый вариант МПИ. Указан тип функционала качества со следующим свойством: при фиксации позиции значение основной функции является ценой игры на минимакс-максимин упомянутого функционала.

Ключевые слова: альтернатива, дифференциальная игра, метод программных итераций, релаксация

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Альтернатива для игровой задачи сближения // Прикл. математика и механика. 1970. Т. 34, № 6. С. 1005–1022.

2.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

3.   Айзекс Р. Дифференциальные игры. М.: Мир, 1967. 480 с.

4.   Ченцов А. Г. Метод программных итераций в игровой задаче наведения // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. T. 22, № 2. С. 304–321.

5.   Ченцов А. Г. Итерации стабильности и задача уклонения с ограничением на число переключений формируемого управления // Изв. ИМИ Удмурт. гос. ун-та. 2017. T. 49. C. 17–54. doi: 10.20537/2226-3594-2017-49-02 

6.   Ченцов А. Г. Некоторые вопросы теории дифференциальных игр с фазовыми ограничениями // Изв. ИМИ Удмурт. гос. ун-та. 2020. T. 56. C. 138–184. doi: 10.35634/2226-3594-2020-56-10 

7.   Ченцов А. Г. Релаксации игровой задачи сближения, связанные с альтернативой в дифференциальной игре сближения-уклонения // Вестн. российских ун-тов. Математика. 2020. Т. 25, № 130. С. 196–244. doi: 10.20310/2686-9667-2020-25-130-196-244 

8.   Ченцов А. Г., Хачай Д. М. Оператор программного поглощения и релаксация дифференциальной игры сближения–уклонения // Вестн. Удмурт. ун-та. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2020. T. 30, № 1. C. 64–91. doi: 10.35634/vm200106 

9.   Chentsov A. G., Khachay D. M. Program iterations method and relaxation of a pursuit-evasion differential game // Advanced control techniques in complex engineering systems: Theory and applications. 2019. P. 129–161. (Studies in Systems, Decision and Control; vol. 203). doi: 10.1007/978-3-030-21927-7_7 

10.   Chentsov A. G., Khachay D. M. Relaxation of a dinamic game of guidance and program constructions of control // Minimax theory and its applications. 2020. Vol. 5, №. 2. P. 275–304.

11.   Красовский Н. Н. Игровые задачи о встрече движений. М.: Физматлит, 1970. 420 p.

12.   Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. I // Изв. АН СССР: Техническая кибернетика. 1973. № 2. С. 3–18.

13.   Красовский Н. Н. Дифференциальная игра сближения-уклонения. II // Изв. АН СССР: Техническая кибернетика. 1973. № 3. С. 22–42.

14.   Ченцов А. Г. О структуре одной игровой задачи сближения // Докл. АН СССР. 1975. T. 224, № 6. C. 1272–1275.

15.   Ченцов А. Г. К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР. 1976. T. 226, № 1. C. 73–76.

16.   Чистяков С. В. К решению игровых задач преследования // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 5. С. 825–832.

17.   Ухоботов В. И. Построение стабильного моста для одного класса линейных игр // Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, № 2. С. 358–364.

18.   Субботин А. И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

19.   Subbotin A. I. Generalized solutions of first-order PDEs. The dynamical optimization perspective. Boston: Birkhauser, 1995. 312 p. (Systems & Control: Foundations & Appl.).

20.   Субботин А. И. Непрерывные и разрывные решения краевых задач для уравнений с частными производными первого порядка // Докл. РАН. 1992. T. 323, № 1. С. 30–34.

21.   Субботин А. И., Ченцов А. Г. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона — Якоби // Докл. РАН. 1996. Т. 348, № 6. С. 736–739.

22.   Субботин А. И., Ченцов А. Г. Итерационная процедура построения минимаксных и вязкостных решений уравнений Гамильтона — Якоби и ее обобщения // Тр. МИАН. 1999. Т. 224. С. 311–334.

23.   Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

24.   Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М.: Мир, 1964. 430 с.

25.   Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. М.: Наука, 1977. 352 с.

26.   Данфорд Н., Шварц Дж. Т. Линейные операторы: Общая теория. М.: ИЛ, 1962. 895 с.

27.   Кряжимский А. В. К теории позиционных дифференциальных игр сближения-уклонения // Докл. АН СССР. 1978. T. 239, № 4. C. 779–782.

28.   Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981. 288 с.

29.   Ченцов А. Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения. Деп. в ВИНИТИ 04.06.79, №1933-79 / Ин-т математики и механики УНЦ АН СССР.

Свердловск, 1979. 103 с.

30.   Ченцов А. Г. Элементы конечно-аддитивной теории меры. I. Екатеринбург: УГТУ-УПИ, 2008. 388 с.

Поступила 12.03.2021

После доработки 13.05.2021

Принята к публикации 17.05.2021

Ченцов Александр Георгиевич
д-р физ.-мат. наук
член-корреспондент РАН, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
профессор
e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Г. Ченцов. Метод программных итераций и проблема релаксации // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 3. С. 211-226

English

A.G. Chentsov. The program iteration method and the relaxation problem

The issues related to an approach–evasion differential game are considered: alternative solvability, construction of relaxations of an approach game problem, and construction of a solution based on the program iteration method. The case is considered when the set defining the phase constraints in a differential game with a closed target set may be nonclosed in the position space but has closed sections. For this situation, an alternative is established that is ideologically similar to the Krasovskii–Subbotin alternative under a certain correction of the classes of strategies. The question of constructing relaxations of the problem of approaching the target set in the presence of phase constraints is considered; it is assumed that the weakening of the conditions in terms of bringing the system to the target set and in terms of observing the phase constraints may be different, which is achieved by introducing a special priority coefficient. When a position of the game is fixed, the smallest size of a neighborhood of the target set is determined for which, with a proportional (in the sense of the mentioned coefficient) weakening of the phase constraints, the player interested in the approach can still guarantee it in an appropriate class of strategies (here, nonanticipation strategies or quasi-strategies). For the resulting main function of the position, a sequence of functions (positions) converging to this function is introduced based on a variant of the program iteration method operating in the space of sets with elements in the form of game positions. After that, a special operator on the function space (a program operator) is constructed, which implements this sequence by means of a “direct ” iterative procedure and for which the main function itself is a fixed point. Thus, a new version of the program iteration method is implemented. A type of the quality functional with the following property is proposed: when a position is fixed, the value of the main function is the value of a game for the minimax–maximin of this functional.

Keywords: alternative, differential game, program iteration method, relaxation

Received March 12, 2021

Revised May 13, 2021

Accepted May 17, 2021

Alexander Georgievich Chentsov, Dr. Phys.-Math. Sci, RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: chentsov@imm.uran.ru

Cite this article as: A.G. Chentsov. The program iteration method and the relaxation problem, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 3, pp. 211–226.

[References -> on the "English" button bottom right]