Н.Н. Субботина, Е.А. Крупенников. Слабые со звездой аппроксимации решения задачи динамической реконструкции ... С. 208-220

УДК 517.977

MSC: 65K10, 34A55, 49K15

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-208-220

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 20-01-00362).

В данной работе для аффинной детерминированной динамической системы рассмотрена задача динамической реконструкции наблюдаемой фазовой траектории $x^*(\cdot)$ этой системы и породившего ее управления на базе текущей информации о неточных дискретных замерах $x^*(\cdot)$. Уточняется корректная постановка задачи о построении аппроксимаций $u^l(\cdot)$ искомого нормального управления $u^*(\cdot)$, порождающего $x^*(\cdot)$. Обсуждается решение этой задачи, которое получено с помощью вариационного подхода, предложенного авторами. Приведены условия на входные данные задачи и условия согласования параметров аппроксимации (параметров точности и частоты замеров траектории и вспомогательного регуляризирующего параметра). При выполнении этих условий реконструированные траектории $x^l(\cdot)$ динамической системы равномерно сходятся к наблюдаемой траектории $x^*(\cdot)$ в пространстве непрерывных функций $\mathbb{C}$ при $l\to \infty$. В работе конкретизирован алгоритм построения вспомогательных функций, интерполирующих известные замеры, и получено условие согласования параметров аппроксимации, при котором предлагаемые управления $u^l(\cdot)$ сходятся слабо со звездой к $u^*(\cdot)$ в пространстве суммируемых функций $\mathbb{L}^1$.

Ключевые слова: задачи динамической реконструкции, выпукло-вогнутая невязка, задачи вариационного исчисления, гамильтоновы системы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Subbotina N. N., Krupennikov E. A. The method of characteristics in an identification problem // Proc. Steklov Inst. Math. 2017. Vol. 299. P. 205–216. doi: 10.1134/S008154381709022X 

2.   Subbotina N. N., Tokmantsev T. B., Krupennikov E .A. Dynamic programming to reconstruction problems for a macroeconomic model // IFIP Adv. Inf. Comm. Te. Vol. 494. 2016. P. 472–481. doi: 10.1007/978-3-319-55795-3_45 

3.   Subbotina N. N., Krupennikov E. A. Hamiltonian systems for dynamic control reconstruction problems // Minimax Theory Appl. 2020. Vol. 5, no. 2. P. 439–454.

4.   Ngoc D. V., Marcelo H. Ang Jr. Model identification for industrial robots // Acta Polytechnica Hungarica. 2009. Vol. 6, № 5. P. 51–68.

5.   Sturz Y. R., Affolter L. M., Smith R. S. Parameter identification of the KUKA LBR iiwa robot including constraints on physical feasibility // IFAC PapersOnLine. 2017. Vol. 50, № 1. P. 6863–6868. doi:10.1016/j.ifacol.2017.08.1208 

6.   Ren C., Wang N., Liu Q., Liu Ch. Dynamic force identification problem based on a novel improved Tikhonov regularization // Mathematical Problems in Engineering Volume. 2019. Vol. 2019, Article ID 6095184. 13 p. doi:10.1155/2019/6095184 

7.   Chung J., Saibaba A. K., Brown M., Westman E. Efficient generalized Golub–Kahan based methods for dynamic inverse problems // Inverse Problems. 2018. Vol. 34, article ID 024005. 12 p. doi: 10.1088/1361-6420/aaa0e1 

8.   Liu Y. C., Chen Y. W., Wang Y. T., Chang J. R. A high-order Lie groups scheme for solving the recovery of external force in nonlinear system // Inverse Problems in Science and Engineering. 2018. Vol. 26, № 12. P. 1749–1783. doi: 10.1080/17415977.2018.1433669 

9.   D’Autilia M. C., Sgura I., Bozzini B. Parameter identification in ODE models with oscillatory dynamics: a Fourier regularization approach // Inverse Problems. 2017. Vol. 33, no. 12. P. 124009. doi:10.1088/1361-6420/aa9834 

10.   Schuster N., Burger M., Hahn B. Dynamic inverse problems: modelling-regularization-numerics. Preface // Inverse Problems. 2018. Vol. 34, article ID 040301. 4 p. doi: 10.1088/1361-6420/aab0f5 

11.   Sabatier P. C. Past and future of inverse problems // J. Math. Phys. 2000. Vol. 41, no. 6. P. 4082. doi:10.1063/1.533336 

12.   Vasin V. V. Methods for solving nonlinear ill-posed problems based on the Tikhonov–Lavrentiev regularization and iterative approximation // Eurasian J. Math. Comp. Appl. 2016. Vol. 4, no. 4. P. 60–73. doi: 10.32523/2306-6172-2016-4-4-60-73 

13.   Kabanikhin S. I., Krivorotko O. I. Identification of biological models described by systems of nonlinear differential equations // J. of Inverse and Ill-posed Problems. 2015. Vol. 23, № 5. P. 519–527. doi: 10.1515/jiip-2015-0072 

14.   Schmitt U., Louis A. K., Wolters C., Vauhkonen M. Efficient algorithms for the regularization of dynamic inverse problems: II. Applications // Inverse Problems. 2002. Vol. 18, № 3. P. 659–676. doi: 10.1088/0266-5611/18/3/309 

15.   Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Сер. техн. кибернетика. 1983. № 2. С. 51–60.

16.   Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

17.   Осипов Ю. С., Кряжимский А. В., Максимов В. И. Некоторые алгоритмы динамического восстановления входов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 129–161.

18.   Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 5. C. 195–198.

19.   Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 480 с.

20.   Магнус Я. Р., Нейдеккер Х. Матричное дифференциальное исчисление с приложениями к статистике и эконометрике. М.: ФИЗЛИТ, 2002. 486 с.

21.   Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 572 с.

22.   Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977. 624 с.

23.   Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд-во ун-та, 1977. 256 с.

Поступила 26.02.2021

После доработки 7.04.2021

Принята к публикации 12.04.2021

Субботина Нина Николаевна
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: subb@uran.ru

Крупенников Евгений Александрович
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
старший преподаватель
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: krupennikov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Н.Н. Субботина, Е.А. Крупенников. Слабые со звездой аппроксимации решения задачи динамической реконструкции //Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 208-220

English

N.N. Subbotina, E.A. Krupennikov. Weak* approximations for the solution of a dynamic reconstruction problem

We consider the problem of the dynamic reconstruction of an observed state trajectory $x^*(\cdot)$ of an affine deterministic dynamic system and the control that has generated this trajectory. The reconstruction is based on current information about inaccurate discrete measurements of $x^*(\cdot)$. A correct statement of the problem on the construction of approximations $u^l(\cdot)$ of the normal control $u^*(\cdot)$ generating $x^*(\cdot)$ is refined. The solution of this problem obtained using the variational approach proposed by the authors is discussed. Conditions on the input data and matching conditions for the approximation parameters (parameters of the accuracy and frequency of measurements of the trajectory and an auxiliary regularizing parameter) are given. Under these conditions, the reconstructed trajectories $x^l(\cdot)$ of the dynamical system converge uniformly to the observed trajectory $x^*(\cdot)$ in the space of continuous functions $C$ as $l\to\infty$. It is proved that the proposed controls $u^l(\cdot)$ converge weakly* to $u^*(\cdot)$ in the space of summable functions $L^1$.

Keywords: dynamic reconstruction problems, convex-concave discrepancy,  problems of calculus of variations, Hamiltonian systems

Received February 26, 2021

Revised April 7, 2021

Accepted April 12, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 20-01-00362).

Nina Nikolaevna Subbotina, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: subb@uran.ru

Evgenii Aleksandrovich Krupennikov, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: krupennikov@imm.uran.ru

Cite this article as: N.N. Subbotina, E.A. Krupennikov. Weak* approximations for the solution of a dynamic reconstruction problem, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 208–220.

[References -> on the "English" button bottom right]