А.М. Денисов. О единственности решения задачи определения составного источника в уравнении теплопроводности ... С. 120-127

УДК 517.956.4

MSC: 65M32

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-120-127

Работа выполнена при поддержке Московского центра фундаментальной и прикладной математики.

Рассматривается начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности с источником. Источник является составным, а именно, представляет собой сумму двух неизвестных функций пространственных переменных, умноженных на заданные степенные функции времени. Ставится обратная задача, состоящая в определении двух неизвестных функций пространственных переменных по дополнительной информации о решении начально-краевой задачи, являющейся функцией времени и одной из пространственных переменных. Показано, что такая обратная задача в общем случае имеет бесконечное множество решений. Доказаны теоремы единственности решения обратной задачи в некоторых специальных классах неизвестных функций.

Ключевые слова: уравнение теплопроводности, неизвестный источник, обратная задача, единственность решения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Тихонов А.Н. Теоремы единственности для уравнения теплопроводности // Докл. АН СССР. 1935. Т. 1, № 5. С. 294–300.

2.   Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1980. 285 с.

3.   Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984. 252 с.

4.   Алифанов О.М. Обратные задачи теплообмена. М.: Машиностроение, 1988. 280 с.

5.   Денисов А.М. Введение в теорию обратных задач. М.: МГУ, 1994. 206 с.

6.   Осипов Ю.С., Васильев Ф.П., Потапов М.М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ, 1999. 238 с.

7.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Обратные задачи динамики для параболических систем // Дифференц. уравнения. 2000. Т. 36, № 5. С. 579–597.

8.   Prilepko A.I., Orlovsky  D.G., Vasin I.V. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. N Y: Marcel Dekker, 2000. 744 p.

9.   Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. N Y: Springer, 2006. 406 p.

10.   Кабанихин С.И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2018. 512 с.

11.   Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные обратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1969. 67 с.

12.   Cannon J.R., Perez-Esteva S. Uniqueness and stability of 3d heat sources // Inverse Problems. 1991. Vol. 7, no. 1. P. 57–62.

13.   Прилепко А.И., Костин А.Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением // Мат. сб. 1992. Т. 183, № 4. С. 49–68.

14.   Cannon J.R., Du Chateau P. Structural identification of an unknown source term in a heat equation // Inverse Problems. 1998. Vol. 14, no. 3. P. 535–551.

15.   Прилепко А.И., Ткаченко Д.С. Свойства решений параболического уравнения и единственность решения обратной задачи об источнике с интегральным переопределением // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 4. С. 562–570.

16.   Choulli M., Yamamoto M. Conditional stability in determining a heat source // J. Inverse Ill-Posed Pr. 2004. Vol. 12, no. 3. P. 233–243.

17.   Денисов А.М. Задачи определения неизвестного источника в параболическом и гиперболическом уравнениях // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2015. Т. 55, № 5. С. 830–835. doi: 10.7868/S0044466915050087 

18.   Денисов А.М. Единственность и неединственность решения задачи определения источника в уравнении теплопроводности // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2016. Т. 56, № 10. С. 1737–1742. doi: 10.7868/S0044466916100069 

19.   Соловьев В.В. Об определении источников с компактными носителями в ограниченной области на плоскости для уравнения теплопроводности // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, № 5. С. 778–789. https://doi.org/10.7868/S0044466918050083 

20.   Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

Поступила 21.01.2021

После доработки 5.02.2021

Принята к публикации 8.02.2021

Денисов Александр Михайлович
д-р. физ.-мат. наук, профессор
фак. ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва
e-mail: den@cs.msu.ru

Ссылка на статью: А.М. Денисов. О единственности решения задачи определения составного источника в уравнении теплопроводности // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021.Т. 27, № 2. С. 120-127

English

A.M. Denisov. On the uniqueness of a solution to the problem of finding a composite source in the heat equation

An initial–boundary value problem is considered for a two-dimensional heat equation with a source. The source is composite; namely, it is the sum of two unknown functions of spatial variables multiplied by given power functions of time. An inverse problem is posed, which consists in determining the two unknown functions from additional information about the solution of the initial–boundary value problem, which is a function of time and of one of the spatial variables. It is shown that such an inverse problem has an infinite set of solutions in the general case. Theorems on the uniqueness of a solution of the inverse problem in some special classes of unknown functions are proved.

Keywords: heat equation, unknown source, inverse problem, uniqueness of solution

Received January 21, 2021

Revised February 5, 2021

Accepted February 8, 2021

Funding Agency: This work was supported by the Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics.

Aleksandr Mikhailovich Denisov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119992 Russia, e-mail: den@cs.msu.ru

Cite this article as: A.M. Denisov. On the uniqueness of a solution to the problem of finding a composite source in the heat equation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 120–127.

[References -> on the "English" button bottom right]