А. Керимбеков. О разрешимости задачи синтеза распределенного и граничного управлений при оптимизации колебательных процессов ... С. 128-140

УДК 517.977

MSC: 49K20

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-128-140

В статье исследованы вопросы разрешимости задачи синтеза распределенного и граничного управлений при оптимизации колебательных процессов, описываемых интегро-дифференциальными уравнениями в частных производных с интегральным оператором Фредгольма. Функции внешнего и граничного воздействий нелинейны относительно управлений. Для функционала Беллмана получено интегро-дифференциальное уравнение специфического вида и найдена структура его решения, которая позволяет это уравнение представить в виде системы двух уравнений, имеющих более простой вид. Описан алгоритм построения решения задачи синтеза распределенного и граничного управлений, изложена процедура определения управлений как функции (функционала) от состояния управляемого процесса.

Ключевые слова: интегро-дифференциальное уравнение, оператор Фредгольма, обобщенное решение, функционал Беллмана, дифференциал Фреше, синтез оптимального управления

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1965. 476 с.

2.   Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами. М.: Наука, 1978. 464 с.

3.   Егоров А.И., Знаменская Л.Н. Введение в теорию управления системами с распределенными параметрами. СПб.: Лань, 2017. 292 с.

4.   Egorov A.I. Optimal stabilization of systems with distributed parameters // Optimization Techniques IFIP Technical Conference (1974) / ed. G.I. Marchuk. Novosibirsk, 1974. Berlin; Heidelberg: Springer, 1975. P. 167–172 . (Lecture Notes in Computer Science; vol 27). doi: 10.1007/3-540-07165-2_22 

5.   Шенфельд Г.Б. Синтез оптимального управления упругой конструкции // Оптимизация процессов в системах с рапределенными параметрами. Фрунзе: Илим, 1975. С. 23–26.

6.   Рахимов М. О синтезе оптимального управления упругими колебаниями: дис. …канд. физ.-мат. наук. Ашхабад, 1979. 128 c.

7.   Рахимов М. Применение методов динамического программирования и спектрального разложения к задачам оптимального управления системами с распределенными параметрами: автореферат дис. …д-р. физ.-мат. наук / МГУ им. М.В. Ломоносова. Москва, 1989. 32 с.

8.   Керимбеков А. Нелинейное оптимальное управление линейными системами с распределенными параметрами. Бишкек: Илим, 2003. 224 с.

9.   Вольтерра В.И. Функциональная теория, интегральные и интегро-дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 456 с.

10.   Vladimirov V.S. Mathematical problems of the uniform-speed theory of transport // Trudy Mat. Inst. Steklov. 1961. Vol. 61. P. 3–158.

11.   Рихтмайер Р. Принципы современнной математической физики. М.: Мир, 1982. 488 с.

12.   Sachs E.W., Strauss A.K. Efficient solution of a partial integro-differential equation in finance // Appl. Numer. Math. 2008. Vol. 58, iss. 11. P. 1687–1703.

13.   Thorwe J., Bhaleker S. Solving partial integro-differential equations using Laplace transform method // Am. J. Comput. Appl. Math. 2012. Vol. 2, iss. 3. P. 101–104.

14.   Kerimbekov A.K., Abdyldaeva E.F. Optimal distributed control for the processes of oscillation described by Fredholm integro-differential equations // Eurasian Math. J. 2015. Vol. 6, iss. 2. P. 18–40.

15.   Керимбеков А, Абдылдаева Э.Ф. О равных отношениях в задаче граничного векторного управления упругими колебаниями, описываемыми фредгольмовыми интегро-дифференциальными уравнениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 2. C. 163–176. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-2-163-176 

16.   Kerimbekov A., Abdyldaeva E.F. On the solvability of a nonlinear tracking problem under boundary control for the elastic oscillations described by Fredholm integro-differential equations // System Modeling and Optimization (CSMO 2015) / eds. L. Bociu, J.-A. D$\acute{\mathrm{e}}$sid$\acute{\mathrm{e}}$ri, A. Habbal. Cham: Springer, 2016. P. 312–321. (IFIP Advances in Information and Communication Technology; vol. 494). doi: 10.1007/978-3-319-55795-3_29 

17.   Kerimbekov A., Abdyldaeva E.F, Duyshenalieva U.E. Generalized solution of a boundary value problem under point exposure of external forces // International J. Pure Appl. Math. 2017. Vol. 113, iss. 4. P. 87–101. doi: 10.12732/ijpam.v113i4.9 

18.   Kerimbekov A., Abdyldaeva E.F. The optimal vector control for the elastic oscillations described by Fredholm integral-differential equations // Analysis and Partial Differential Equations: Perspectives from Developing Countries / eds. J. Delgado, M. Ruzhansky. Cham: Springer, 2019. P. 14–30. (Springer Proceedings in Mathematics & Statistics; vol. 275). doi: 10.1007/978-3-030-05657-5_3 

19.   Kerimbekov A., Tairova O.K. On the solvability of synthesis problem for optimal point control of oscillatory processes // IFAC- PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 754–758. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.455 

20.   Bellman R. The theory of dynamic programming // Bull. Amer. Math. Soc. 1954. Vol. 60, iss. 6. P. 503–515.

21.   Плотников В.И. Энергетическое неравенство и свойство переопределенности системы собственных функций // Изв. АН ССР. Сер. математическая. 1968. Т. 32, № 4. C. 743–755.

22.   Краснов М. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1975. 304 с.

23.   Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

24.   Смирнов В.И. Курс высшей математики. М.: Наука, 1974. 480 с.

Поступила 29.01.2021

После доработки 22.03.2021

Принята к публикации 2.04.2021

Керимбеков Акылбек
д-р физ.-мат. наук, профессор
зам. зав. кафедрой
Кыргызско-российский Славянский университет
г. Бишкек
e-mail: akl7@rambler.ru

Ссылка на статью: А. Керимбеков. О разрешимости задачи синтеза распределенного и граничного управлений при оптимизации колебательных процессов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 128-140

English

A. Kerimbekov. On the solvability of the problem of synthesizing distributed and boundary controls in the optimization of oscillation processes

We study the solvability of the problem of synthesis of distributed and boundary controls in the optimization of oscillation processes described by partial integro-differential equations with the Fredholm integral operator. Functions of external and boundary actions are nonlinear with respect to the controls. For the Bellman functional, an integro-differential equation of a specific form is obtained and the structure of its solution is found, which allows this equation to be represented as a system of two equations of a simpler form. An algorithm for constructing a solution to the problem of synthesizing distributed and boundary controls is described, and a procedure for finding the controls as a function (functional) of the state of the process is described.

Keywords: integro-differential equation, Fredholm operator, generalized solution, Bellman functional, Frechet differential, optimal control synthesis

Received January 29, 2021

Revised March 22, 2021

Accepted April 2, 2021

Akylbek Kerimbekov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Kyrgyz-Russian Slavic university, Bishkek, 720022 Kyrgyzstan, e-mail: akl7@rambler.ru

Cite this article as: A. Kerimbekov. On the solvability of the problem of synthesizing distributed and boundary controls in the optimization of oscillation processes, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 128–140.

[References -> on the "English" button bottom right]