А.Р. Данилин. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами. II ... С. 108-119

УДК 517.977

MSC: 35C20, 35B25, 76M45, 93C70

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-2-108-119

Рассматривается задача оптимального граничного управления решениями уравнения эллиптического типа в ограниченной области с гладкой границей, с малым коэффициентом при операторе Лапласа и малым, соподчиненным с первым, коэффициентом при граничном условии и интегральными  ограничениями на управление
$$
 \left\{
 \begin{array}{ll}
 \displaystyle {\mathcal L}_\varepsilon z\mathop{:=}\nolimits - \varepsilon^2 \Delta z + a(x) z = f(x), &
 \displaystyle                 x\in \Omega,\ \  z \in H^1(\Omega), \\[3ex]
 \displaystyle l_{\varepsilon} z\mathop{:=}\nolimits \varepsilon^\beta \frac{\partial z}{\partial n} = g(x) + u(x), &
 x\in\Gamma,
 \end{array}
 \right.
 $$
  со следующим функционалом качества
 $$
 J(u) \mathop{:=}\nolimits \|z-z_d\|^2 + \nu^{-1}|||u|||^2 \to \inf, \quad
  u \in \mathcal{U},
 $$
где $0<\varepsilon\ll 1$, $\beta\geqslant 0$, $\beta\in\mathbb{Q}$, $\nu>0,$ $H^1(\Omega)$ - соболевское пространство функций, $\partial z/\partial n$ - производная функции $z$ в точке $x\in\Gamma$ по направлению внешней  (по отношению к области $\Omega$) нормали,
 $$
  \begin{array}{c}
  \displaystyle  a(\cdot),  f(\cdot), z_d(\cdot)  \in  C^\infty(\overline{\Omega}),  \quad
  g(\cdot)\in C^\infty(\Gamma),\quad
  \forall\, x\in \overline{\Omega}\quad a(x)\geqslant \alpha^2>0, \\[2ex]
  \displaystyle \mathcal{U} = \mathcal{U}_1,\quad \mathcal{U}_r\mathop{:=}\nolimits \{u(\cdot)\in L_2(\Gamma)\colon
     |||u||| \leqslant r\}.
 \end{array}
 $$
Здесь через $\|\cdot\|$ обозначена норма в пространстве $L_2(\Omega)$, а через $|||\cdot|||$ - норма в пространстве $L_2(\Gamma)$. Получено полное асимптотическое разложение по степеням малого параметра решения рассматриваемой задачи в случае, когда $\beta\geqslant 3/2$. В отличие от ранее рассмотренного случая, в данной задаче существенность  ограничений на управление зависит от $|||g|||$.

Ключевые слова: сингулярные задачи, оптимальное управление, краевые задачи для систем уравнений в частных производных, асимптотические разложения

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972. 414 c.

2.   Данилин А.Р. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления с двумя малыми соподчиненными параметрами // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 102–111. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-102-111 

3.   Casas E. A review on sparse solutions in optimal control of partial differential equations // SeMA J. 2017. Vol. 74. P. 319–344. doi: 10.1007/s40324-017-0121-5 

4.   Lou H., Yong J. Second-order necessary conditions for optimal control of semilinear elliptic equations with leading term containing controls // Math. Control Relat. Fields. 2018. Vol. 8, no. 1. P. 57–88. doi: 10.3934/mcrf.2018003 

5.   Betz Livia M. Second-order sufficient optimality conditions for optimal control of nonsmooth, semilinear parabolic equations // SIAM J. Control Optim. 2019. Vol. 57, no. 6. P. 4033–4062. doi: 10.1137/19M1239106 

6.   Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах // Докл. АН Украины. Cер. Математика, естествознание, технические науки. 1992. № 2. С. 70–74.

7.   Данилин А.Р. Оптимальное граничное управление в области с малой полостью // Уфим. мат. журн. 2012. Т. 4, № 2. С. 87–100.

8.   Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: Изд-во ЛГУ, 1950. 255 с.

9.   Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

10.   Данилин А.Р. Асимптотика решения бисингулярной задачи оптимального граничного управления в ограниченной области // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2018. Т. 58, № 11. С. 1808–1814.

11.   Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.

12.    Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, вып. 5. С. 3–122.

13.   Ильин А.М. Пограничный слой // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 34. М.: ВНИТИ, 1988. С. 175–214. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР).

Поступила 31.01.2021

После доработки 10.02.2021

Принята к публикации 15.02.2021

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор,
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин. Асимптотика решения задачи оптимального граничного  управления с двумя малыми соподчиненными параметрами. II // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 2. С. 108-119

English

A.R. Danilin. Asymptotics of a solution to a problem of optimal boundary control with two small cosubordinate parameters. II

We consider a problem of optimal boundary control for solutions of an elliptic type equation in a bounded domain with smooth boundary with a small coefficient at the Laplace operator, a small coefficient, cosubordinate with the first, at the boundary condition, and integral constraints on the control:
$$
 \left\{
 \begin{array}{ll}
 \displaystyle {\mathcal L}_\varepsilon z\mathop{:=}\nolimits - \varepsilon^2 \Delta z + a(x) z = f(x), &
 \displaystyle                 x\in \Omega,\ \  z \in H^1(\Omega), \\[3ex]
 \displaystyle l_{\varepsilon} z\mathop{:=}\nolimits \varepsilon^\beta \frac{\partial z}{\partial n} = g(x) + u(x), &
 x\in\Gamma,
 \end{array}
 \right.
 $$
$$
 J(u) \mathop{:=}\nolimits \|z-z_d\|^2 + \nu^{-1}|||u|||^2 \to \inf, \quad
  u \in \mathcal{U},
 $$
where $0<\varepsilon\ll 1$, $\beta\geqslant 0$, $\beta\in\mathbb{Q}$, $\nu>0,$ $H^1(\Omega)$ is the Sobolev function space, $\partial z/\partial n$ is the derivative of $z$ at the point $x\in\Gamma$ in the direction of the outer (with respect to the domain $\Omega$) normal,
$$
  \begin{array}{c}
  \displaystyle  a(\cdot),  f(\cdot), z_d(\cdot)  \in  C^\infty(\overline{\Omega}),  \quad
  g(\cdot)\in C^\infty(\Gamma),\quad
  \forall\, x\in \overline{\Omega}\quad a(x)\geqslant \alpha^2>0, \\[2ex]
  \displaystyle \mathcal{U} = \mathcal{U}_1,\quad \mathcal{U}_r\mathop{:=}\nolimits \{u(\cdot)\in L_2(\Gamma)\colon
     |||u||| \leqslant r\}.
 \end{array}
 $$
Here $\|\cdot\|$ and $|||\cdot|||$ are the norms in the spaces $L_2(\Omega)$ and $L_2(\Gamma)$, respectively. We find a complete asymptotic expansion of the solution of the problem in powers of the small parameter in the case where $\beta\geqslant 3/2$. In contrast to the previously considered case, the relevance of the constraints on the control depends on $|||g|||$.

Keywords: singular problems, optimal control, boundary value problems for systems of partial differential equations, asymptotic expansions

Received January 31, 2021

Revised February 10, 2021

Accepted February 15, 2021

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R. Danilin. Asymptotics of a solution to a problem of optimal boundary control with two small cosubordinate parameters, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2021, vol. 27, no. 2, pp. 108–119.

[References -> on the "English" button bottom right]