А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика оптимального времени перевода линейной управляемой системы с нулевыми вещественными частями собственных значений матрицы при быстрых переменных на неограниченное целевое множество ... C. 48-61

УДК 517.977

MSC: 93C70, 49N05

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-48-61

Полный текст статьи (Full text)

Настоящая работа посвящена одной задаче оптимального быстродействия для сингулярно возмущенной линейной автономной системы с гладкими геометрическими ограничениями на управление и неограниченным целевым множеством:
$$
\left\{
\begin{array}{llll}
\phantom{\varepsilon}\dot{x}=y,\,& x,\,y\in \mathbb{R}^{2m},\quad u\in \mathbb{R}^{2m},\\[1ex]
\varepsilon\dot{y}=Jy-Ju,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad \varepsilon\ll 1,\\[1ex]
x(0)=x^0,\quad y(0)=\varepsilon y^0,\\[1ex]
x(T_\varepsilon)=0,\quad y(T_\varepsilon)\in \mathbb{R}^{2m},\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min,&
\end{array}
\right.
$$
где
$$
J=\left(\begin{array}{rr} 0&\beta \cdot I \\-\beta \cdot I&0\end{array}\right), \quad \beta>0.
$$
Собственные значения матрицы $J$ при быстрых переменных не удовлетворяют стандартному требованию отрицательности вещественной части. Доказана разрешимость задачи. Получена полная степенная асимптотика в смысле Эрдейи времени быстродействия при стремлении малого параметра $\varepsilon$ при производных в уравнениях системы к нулю по некоторому множеству. Показано, что вид асимптотики существенно зависит от множества, по которому малый параметр стремится к нулю.

Ключевые слова: оптимальное управление, задача быстродействия, асимптотическое разложение, сингулярно возмущенная задача, малый параметр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. // Математическая теория оптимальных процессов. М. : Физматгиз, 1961. 391 c.

2.   Дмитриев М.Г., Курина Г.А. Сингулярные возмущения в задачах управления // Автоматика и телемеханика. 2006. № 1. С. 3–51.

3.   Zhang Y., Naidu D.S., Chenxiao Cai and Yun Zou Singular perturbations and time scales in control theories and applications: an overview 2002-2012 // Inter. journal of informaton and systems sciences. 2014. vol. 9, no. 1. pp. 1–36.

4.   Kokotovic P.V., Haddad A.H. Controllability and time-optimal control of systems with slow and fast modes // IEEE Trans. Automat. Control. 1975. vol. 20, no. 1. pp. 111–113. doi: 10.1109/TAC.1975.1100852 

5.   Дончев А. Системы оптимального управления: Возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987. 156 c.

6.   Donchev A.L., Veliev V.M. Singular Perturbation in Mayer’s Problem for Linear Systems // SIAM J. Control Optim. 1983. vol. 21, no. 4. pp. 566–581.

7.   Курина Г.А., Нгуен Т.Х. Асимптотическое решение сингулярно возмущенных линейно-квадратичных задач оптимального управления с разрывными коэффициентами // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2012. Т. 52, № 4. С. 628–652.

8.   Kurina G.А., Hoai N.T. Projector Approach for Constructing the Zero Order Asymptotic Solution for the Singularly Perturbed Linear-Quadratic Control Problem in a Critical Case // AIP Conference Proceedings. 2018. vol. 1997. pp. 020073. doi: 10.1063/1.5049067 

9.   Калашникова М.А., Курина Г.А. Прямая схема асимптотического решения линейно-квадратичных задач с дешевыми управлениями разной цены // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 1. С. 83–102.

10.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. Асимптотика решения сингулярно возмущенной задачи быстродействия перевода объекта на множество // Тр. Института математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 132–146. doi: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-132-146 

11.   Данилин А.Р., Коврижных О.О. О зависимости задачи быстродействия для линейной системы от двух малых параметров // Вест. ЧелГУ. 2011. № 27. С. 46–60. (Математика, механика, информатика; вып. 14.)

12.   Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. 576 c.

13.   Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление. М.: Высш. шк., 2001. 239 c.

14.   Еrdelуi A., Wyman М. The asymptotic evaluation of certain integrals // Аrсh. Ration. Mech. Anal. 1963. Vol. 14. P. 217–260.

Поступила 11.01.2021

После доработки 23.01.2021

Принята к публикации 1.02.2021

Данилин Алексей Руфимович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: dar@imm.uran.ru

Коврижных Ольга Олеговна, канд. физ.-мат. наук,
старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: koo@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.Р. Данилин, О.О. Коврижных. Асимптотика оптимального времени перевода линейной управляемой системы с нулевыми вещественными частями собственных значений матрицы при быстрых переменных на неограниченное целевое множество // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. C. 48-61.

English

A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of the optimal time of transferring a linear control system with zero real parts of the eigenvalues of the matrix at the fast variables to an unbounded target set

This paper is devoted to a time-optimal control problem for a singularly perturbed linear autonomous system with smooth geometric constraints on the control and an unbounded target set:
$$ \left\{ \begin{array}{llll}
\phantom{\varepsilon}\dot{x}=y,\,& x,\,y\in \mathbb{R}^{2m},\quad u\in \mathbb{R}^{2m},\\[1ex]
\varepsilon\dot{y}=Jy-Ju,&\,\|u\|\leqslant 1,\quad \varepsilon\ll 1,\\[1ex]
x(0)=x^0,\quad y(0)=\varepsilon y^0,\\[1ex]
x(T_\varepsilon)=0,\quad y(T_\varepsilon)\in \mathbb{R}^{2m},\quad T_\varepsilon \longrightarrow \min,&
\end{array} \right.
$$
where
$$ J=\left(\begin{array}{rr} 0&\beta \cdot I \\
-\beta \cdot I&0\end{array}\right), \quad \beta>0. $$
The eigenvalues of the matrix $J$ at the fast variables do not satisfy the standard requirement that the real part is negative. The solvability of the problem is proved. We also construct and justify a complete power asymptotic expansion in the sense of Erdelyi of the optimal time as the small parameter $\varepsilon$ at the derivatives in the equations of the system tends to zero over some set. It is shown that the form of the asymptotics depends essentially on the set over which the small parameter tends to zero.

Keywords: optimal control, time-optimal control problem, asymptotic expansion, singularly perturbed problem, small parameter

Received January 11, 2021

Revised January 23, 2021

Accepted February 1, 2021

Aleksei Rufimovich Danilin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: dar@imm.uran.ru

Ol’ga Olegovna Kovrizhnykh, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: koo@imm.uran.ru

Cite this article as: A.R. Danilin, O.O. Kovrizhnykh. Asymptotics of the optimal time of transferring a linear control system with zero real parts of the eigenvalues of the matrix at the fast variables to an unbounded target set, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 48–61.

[References -> on the "English" button bottom right]