Д.Б. Давлетов, О.Б. Давлетов, Р.Р. Давлетова, А.А. Ершов. Сходимость собственных элементов краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ ... С. 37-47

УДК 517.929.7, 517.929.8, 517.984

MSC: 35J25, 35P20

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-37-47

Полный текст статьи (Full text)

Исследуется краевая задача типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе, содержащей малое отверстие. На боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия заданы однородные граничные условия Дирихле, а на основании полуполосы задано спектральное условие Стеклова. Доказана теорема о сходимости собственных элементов такой краевой задачи к решению предельной задачи (в полуполосе без отверстия) при стремлении к нулю малого параметра ε > 0, характеризующего диаметр отверстия. Для доказательства теоремы было введено пространство бесконечно дифференцируемых вектор-функций, обладающих конечным интегралом Дирихле по полуполосе, и доказан ряд вспомогательных утверждений. Интеграл Дирихле для вектор-функции определен как сумма интегралов Дирихле компонент. Во вспомогательных утверждениях, в частности, доказано, что из слабой сходимости в метрике введенного пространства последовательности вектор-функций, определенных на полуполосе, следует сходимость их сужений на основание полуполосы в метрике пространства $L_2$. Кроме того, доказано, что для решений краевых задач типа Стеклова для оператора Ламэ в полуполосе с малым отверстием из слабой сходимости сужений на основание полуполосы вытекает сильная сходимость в той же области. Для каждого значения параметра ε определен оператор сужения решений рассматриваемых краевых задач на основание полуполосы. Также доказана сходимость последовательности операторов, обратных к операторам сужения при ε → 0. Физическая интерпретация решения исследуемой в статье сингулярно возмущенной краевой задачи состоит в том, что это решение представляет собой вектор деформации упругой однородной изотропной среды, заполняющей двумерную область с малым отверстием. Уравнение Ламэ — это уравнение равновесия, при выполнении которого возможно сохранение неподвижного состояния упругой среды в форме пластины. Граничные условия Дирихле на боковых границах полуполосы и на границе малого отверстия соответствуют жесткому закреплению упругой пластины. Заданное на основании полосы спектральное условие Стеклова представляет собой сложное упругое закрепление. Собственные значения и собственные вектор-функции краевой задачи характеризуют возможные собственные колебания упругой пластины.

Ключевые слова: краевая задача, спектральное условие Стеклова, оператор Ламэ, собственные элементы, малый параметр

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бутузов В.Ф. Об асимптотике решения сингулярно возмущенных уравнений эллиптического типа в прямоугольной области // Дифференц. уравнения. 1975. Т. 11, № 6. С. 1030–1041.

2.   Hempel R., Seco L., Simon B. The essential spectrum of Neumann Laplacians on some bounded singular domains // J. Funct. Anal. 1991. Vol. 102. P. 448–483.

3.   Гадыльшин P.P. Расщепление кратного собственного значения задачи Дирихле для оператора Лапласа при сингулярном возмущении граничного условия // Мат. заметки. 1992. Т. 52, № 4. С. 42–55.

4.   Гадыльшин Р.Р. О собственных частотах тел с тонкими отростками. I. Сходимость и оценки // Мат. заметки. 1993. Т. 54, № 6. С. 10–21.

5.   Чечкин Г.А. Усреднение краевых задач с сингулярным возмущением граничных условий // Мат. сб. 1993. Т. 184, № 6. С. 99–150.

6.   Борисов Д.И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 7. С. 37–68.

7.   Бикметов А.Р., Гадыльшин Р.Р. О спектре оператора Шредингера с растущим потенциалом, локализованным на сжимающемся множестве // Мат. заметки. 2006. Т. 79, № 5. С. 787–790.

8.   Самарский А.А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // Докл. АН СССР. 1948. Т. 63, № 6. С. 631–634.

9.   Днестровский Ю.Н. Об изменении собственных значений при изменении границы областей // Вестн. МГУ. Сер. 1: Математика, механика. 1964. № 9. С. 61–74.

10.   Ильин А.М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с тонкой щелью. 2. Область с малым отверстием // Мат. сб. 1977. Т. 103, № 2. С. 265–284.

11.   Мазья В.Г., Назаров С.А., Пламеневский Б.А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Изв. АН СССР. 1984. Т. 48, № 2. С. 347–371.

12.   Lanza de Cristoforis M. Asymptotic behavior of the solutions of the Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole. A functional analytic approach // Analysis (Germany). 2008. Vol. 28, iss. 1. P. 63–93. doi: 10.1524/anly.20080903 

13.   Давлетов Д.Б. Асимптотика собственного значения двумерной краевой задачи Дирихле для оператора Ламе в области с малым отверстием // Мат заметки. 2013. Т. 93, № 4. С. 537–548. doi: 10.4213/mzm9023 

14.   Камоцкий И.В., Назаров С.А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. С.-Петерб. мат. об-ва. 1998. Т. 6. С. 151–212.

15.   Давлетов Д.Б., Давлетов О.Б. Сходимость собственных элементов задачи типа Стеклова в полуполосе с малым отверстием // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. 2017. Т. 141. С. 42–47.

16.   Назаров С.А. Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 2. С. 119–184.

17.   Назаров С.А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сиб. мат. журн. 2010. Т. 51, № 5. С. 1086–1101.

18.   Борисов Д.И. О PT-симметричном волноводе с парой малых отверстий // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. С. 22–37.

19.   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (в 10 т). Т. 7: Теория упругости. М.: Физматлит, 2003. 264 с. ISBN 5-9221-0122-6 .

20.   Олейник О.А., Иосифьян Г.А., Шамаев А.С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990. 311 с.

21.   Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976. 391 c.

22.   Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

23.   Давлетов Д.Б., Давлетов О.Б., Садыкова Р.Р. Об асимптотике собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи типа Стеклова для лапласиана // Вестн. Омского ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 20–27.

Поступила 19.10.2020

После доработки 11.02.2021

Принята к публикации 15.02.2021

Давлетов Дмитрий Борисович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Уфимский государственный авиационный технический университет
г. Уфа
e-mail: davletovdb@mail.ru

Давлетов Олег Борисович
старший преподаватель
Уфимский государственный нефтяной технический университет
г. Уфа
e-mail: davolegus@mail.ru

Давлетова Рузалина Разгатовна
преподаватель
Уфимский филиал Финансового университета при Правительстве Российской Федерации
г. Уфа
e-mail: ruzal89@mail.ru

Ершов Александр Анатольевич
канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: ale10919@yandex.ru

Ссылка на статью: Д.Б. Давлетов, О.Б. Давлетов, Р.Р. Давлетова, А.А. Ершов. Сходимость собственных элементов краевой задачи типа Стеклова для оператора Ламэ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 37-47.

English

D.B. Davletov, O.B. Davletov, R.R. Davletova, A.A. Ershov. Convergence of eigenelements in a Steklov type boundary value problem for the Lame operator

A Steklov type boundary value problem is studied for the Lam$\acute{e}$ operator in a half-strip with a small hole. On the lateral boundaries of the half-strip and on the boundary of the small hole, homogeneous Dirichlet boundary conditions are specified, and the Steklov spectral condition is specified on the base of the half-strip. A theorem is proved on the convergence of the eigenelements of this problem to the solution of the limit problem (in the half-strip without a hole) as a small parameter ε > 0 characterizing the diameter of the hole tends to zero. To prove the theorem, we introduce the space of infinitely differentiable vector functions with a finite Dirichlet integral over the half-strip and prove a number of auxiliary statements. The Dirichlet integral for a vector function is defined as the sum of the Dirichlet integrals of the components. Among the auxiliary statements, in particular, it is proved that the weak convergence in the metric of the introduced space of a sequence of functions defined on the half-strip implies the convergence of their restrictions to the base of the half-strip in the metric of the space $L_2$. In addition, it is proved that, for the solutions of Steklov type boundary value problems for the Lam$\acute{e}$ operator in a half-strip with a small hole, the weak convergence of the restrictions to the base of the half-strip implies strong convergence in the same domain. For each value of the parameter ε, an operator is defined for the restriction of the solutions of the considered boundary value problems to the base of the half-strip. The convergence of the sequence of inverses of the restriction operators is also proved as ε → 0. A physical interpretation of the solution of the singularly perturbed boundary value problem considered in the paper is that this solution simulates the deformation vector of an elastic homogeneous isotropic medium filling a two-dimensional region with a small hole. The Lam$\acute{e}$ equation is an equilibrium equation under which a stationary state of an elastic medium in the form of a plate can be maintained. The Dirichlet boundary conditions at the lateral boundaries of the half-strip and at the boundary of the small hole can be interpreted as a rigid fixation of the elastic plate. The spectral Steklov condition specified at the base of the strip is a complex elastic fixation. The eigenvalues and the corresponding eigenvector functions of the boundary value problem characterize the possible natural vibrations of the elastic plate.

Keywords: boundary value problem, Steklov spectral condition, Lame operator, eigenelements, small parameter

Received October 19, 2020

Revised February 11, 2021

Accepted February 15, 2021

Dmitrii Borisovich Davletov, Cand. Phys.-Math. Sci., Ufa State Aviation Technical University, Ufa, 450008 Russia, e-mail: davletovdb@mail.ru

Oleg Borisovich Davletov, Ufa State Petroleum Technological University, Ufa, 450064, Russia, e-mail: davolegus@mail.ru

Ruzalina Razgatovna Davletova, Ufa Branch of the Financial University under the Government of the Russian Federation, Ufa, 450015, Russia, e-mail: ruzal89@mail.ru

Aleksandr Anatol’evich Ershov, Cand. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: ale10919@yandex.ru

Cite this article as: D.B. Davletov, O.B. Davletov, R.R. Davletova, A.A. Ershov. Convergence of eigenelements in a Steklov type boundary value problem for the Lame operator. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 37–47.

[References -> on the "English" button bottom right]