И.Ю. Ефимов, Я.Н. Нужин. Порождающие множества сопряженных инволюций групп $SL_n(q)$ при n = 4,5,7,8 и нечетном q ... С. 62-69

УДК 512.54

MSC: 20G40

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-62-69

Полный текст статьи (Full text)

Работа поддержана Красноярским математическим центром, финансируемым Минобрнауки РФ в рамках мероприятий по созданию и развитию региональных НОМЦ (Соглашение 075-02-2020-1534/1) и РФФИ (проект 19–01–00566).

В 2009 г. Дж.М. Уорд дал ответ для спорадических и знакопеременных групп и для проективных специальных линейных групп $PSL_n(q)$ над полем нечетного порядка $q$, исключая случай $q=9$ при $n\geq 4$, а при $n=6$ и случай $q\equiv 3\!\!\mod\!4$, на вопрос 14.69в) из Коуровской тетради, сформулированный  вторым автором статьи: для каждой конечной простой неабелевой группы $G$ найти минимум числа $n_c(G)$ порождающих сопряженных инволюций, произведение которых равно единице. Известно, что $n_c(G)\geq 5$ для любой простой неабелевой группы $G$. В данной статье ограничение $q\neq 9$ снимается для размерностей $n=4,5,7,8$. Оказалось, что в этих размерностях порождающие пятерки сопряженных инволюций, произведение которых равно единице, для специальных линейных групп $SL_n(q)$, а следовательно, и для $PSL_n(q)$, указанные Дж.М. Уордом, годятся и при $q=9$.

Ключевые слова: специальная линейная группа над конечным полем, порождающие тройки сопряженных инволюций

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook [e-resource]. No. 19. Novosibirsk. 2018. 250 p. URL: math.nsc.ru/~alglog/19kt.pdf 

2.   Нужин Я.Н. О порождающих множествах инволюций простых конечных групп // Алгебра и логика. 2019. Vol. 58, no. 3. P. 426–434.

3.    Di Martino L., Tamburini M.C. 2-generation of finite simple groups and some related topics // Generatots and Ralations in Groups and Geometries / eds. A. Barlotti et al. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1991. P. 195–233. doi: 10.1007/978-94-011-3382-1_8 . (NATO ASI Ser.; vol. 333.)

4.   Ward J.M. Generation of simple groups by conjugate involutions / Queen Mary college, University of London. Thesis of Doctor of Philosophi. 2009. 193 p.

5.   Левчук В.М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика. 1983. Vol. 22, №4. P. 421–434.

6.   Левчук В.М. О порождающих множествах корневых элементов групп Шевалле над полем // Алгебра и логика. 1983. Vol. 22, № 5. P. 526–541.

7.   Нужин Я.Н., Порождающие множества элементов групп Шевалле над конечным полем // Алгебра и логика. 1989. Vol. 28, № 6. P. 670–686.

8.   Di Martino L., Vavilov N. (2,3)-generation of SL(n,q). I. Cases n = 5,6,7 // Comm. Algebra. 1994. Vol. 22. P. 1321–1347.

9.   Tabakov K., Tchakerian K. (2,3)-generation of the groups $PSL_6(q)$ // Serdica Math. J. 2011. Vol. 37. P. 365–370.

10.   Pellegrini M.A. The (2,3)-generation of the special linear groups over finite fields // Bull. Aust. Math. Soc. 2017. Vol. 95, no. 1. P. 48–53.

Поступила 6.08.2020

После доработки 20.09.2020

Принята к публикации 11.01.2021

Ефимов Иван Юрьевич
студент
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: va1319@yandex.ru

Нужин Яков Нифантьевич
д-р физ.-мат. наук, профессор
Сибирский федеральный университет
г. Красноярск
e-mail: nuzhin2008@rambler.ru

Ссылка на статью: И.Ю. Ефимов, Я.Н. Нужин. Порождающие множества сопряженных инволюций групп $SL_n(q)$ при $n = 4,5,7,8$ и нечетном $q$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2021. Т. 27, № 1. С. 62-69.

English

I.Yu. Efimov, Ya.N. Nuzhin. Generating sets of conjugate involutions of the groups $SL_n(q)$ for $n = 4, 5, 7, 8$ and odd $q$

In 2009 J.M. Ward answered for sporadic and alternating groups and for projective special linear groups $PSL_n(q)$ over a field of odd order $q$ except for the case $q=9$ for $n\geq 4$ and, for $n=6$, the case $q\equiv 3\mod 4$ Question 14.69c from The Kourovka Notebook posed by the second author of the present paper: For every finite simple nonabelian group $G$, find the minimum number $n_c(G)$ of generating conjugate involutions whose product is $1$. It is known that $n_c(G)\geq 5$ for any simple nonabelian group $G$. We discard the constraint $q\neq 9$ for the dimensions $n=4,5,7,8$. It turns out that in these dimensions the generating quintiples of conjugate involutions with the product equal to 1 for special linear groups $SL_n(q)$ and, consequently, for $PSL_n(q)$, specified by Ward, are also suitable for $q=9$.

Keywords: spacial linear group over a finite field, generating triples of conjugate involutions

Received August 6, 2020

Revised September 20, 2020

Accepted January 11, 2021

Funding Agency:  This work was supported by the Krasnoyarsk Mathematical Center, which is financed by the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the project for the establishment and development of regional centers for mathematical research and education (agreement no. 075-02-2020-1534/1), and by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-01-00566).

Ivan Yur’evich Efimov, undergraduate student, Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: va1319@yandex.ru

Yakov Nifant’evich Nuzhin, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Siberian Federal University, Krasnoyarsk, 660041 Russia, e-mail: nuzhin2008@rambler.ru

Cite this article as: I.Yu. Efimov, Ya.N. Nuzhin. Generating sets of conjugate involutions of the groups $SL_n(q)$ for $n = 4,5,7,8$ and odd $q$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 62–69.

[References -> on the "English" button bottom right]