УДК 512.542
MSC: 20D10, 20E17
DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-258-267
Full text
This paper is based on the results of the 2020 Ural Workshop on Group Theory and Combinatorics
Only finite groups and classes of finite groups are considered. The lattice approach to the study of formations of groups was first applied by A.N. Skiba in 1986. L.A. Shemetkov and A.N. Skiba established main properties of lattices of local formations and $\omega$-local formations where $\omega$ is a nonempty subset of the set $\mathbb{P}$ of all primes. An $\omega$-local formation is one of types of $\omega$-fibered formations introduced by V.A. Vedernikov and M.M. Sorokina in 1999. Let $f : \omega \cup \{\omega'\} \rightarrow$ $\{$formations of groups$\}$, where $f(\omega') \neq \varnothing$, and $\delta :\mathbb{P} \rightarrow \{$nonempty Fitting formations$\}$ are the functions. Formation $ \frak F = (G \ \vert \ G/O_\omega (G) \in f(\omega')$ and $G/G_{\delta (p)} \in f(p)$ for all $p\in \omega \cap \pi(G) )$ is called an $\omega$-fibered formation with a direction $\delta$ and with an $\omega$-satellite $f$, where $O_{\omega}(G)$ is the largest normal $\omega$-subgroup of the group $G$, $G_{\delta (p)}$ is the $\delta (p)$-radical of the group $G$, i.e. the largest normal subgroup of the group $G$ belonging to the class $\delta (p)$, and $\pi(G)$ is the set of all prime divisors of the order of the group $G$. We study properties of lattices of $\omega$-fibered formations of groups. In this work we have proved the modularity of the lattice $\Theta_{\omega \delta}$ of all $\omega$-fibered formations with the direction $\delta$. Its sublattice $\Theta_{\omega \delta} (\frak F)$ for the definite $\omega$-fibered formation $\frak F$ with the direction $\delta$ is considered. We have established sufficient conditions under which the lattice $\Theta_{\omega \delta} (\frak F)$ is a distributive lattice with complements.
Keywords: finite group, class of groups, formation, $\omega$-fibered formation, lattice, modular lattice, distributive lattice, lattice with complements
REFERENCES
1. Birkhoff G. Lattice Theory. Providence, R.I.: Amer. Math. Soc., 1967, 418 p. ISBN: 0-8218-1025-1 . Translated to Russian under the title Teoriya reshetok. Moscow: Nauka Publ., 1984, 568 p.
2. Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups. Berlin; New York: Walter de Gruyter, 1992, 901 p. ISBN: 3-11-012892-6 .
3. GaschЈutz W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen. Math Z., 1962, vol. 80, no. 1, pp. 300–305. doi: 10.1007/BF01162386
4. Hartley B. On Fischer’s dualization of formation theory. Proc. London Math. Soc., 1969, vol. 3, no. 9. pp. 193–207. doi: 10.1112/plms/s3-19.2.193
5. Kamornikov S.F., Selkin M.V. Subgroup functors and classes of finite groups. Minsk: Belarusskaya Nauka Publ., 2003, 354 p. ISBN: 985-08-0556-0 .
6. Kamozina O.V. Non-singly-generated multiply $\omega$-fibered Fitting classes of finite groups. Math. Notes, 2006, vol. 79, no. 3. pp. 366–376. doi: 10.4213/mzm2709
7. Kamozina O.V. Algebraic lattices of multiply $\Omega$-foliated Fitting classes. Discrete Math. Appl., 2006, vol. 16, no. 3, pp. 299–305. doi: 10.4213/dm53
8. Shemetkov L.A. Formatsii konechnykh grupp [Formations of finite groups]. Moscow: Nauka Publ., 1978, 272 p.
9. Shemetkov L.A., Skiba A.N. Formations of algebraic systems. Moscow: Nauka Publ., 1989, 255 p. ISBN: 5-02-013918-1 .
10. Skachkova (Yelovikova) Yu.A. Lattices of $\Omega$-fibered formations. Discrete Math. Appl., 2002, vol. 12, no. 3, pp. 269–278. doi: 10.4213/dm243
11. Skachkova (Yelovikova) Yu.A. Boolean lattices of multiply $\Omega$-foliated formations. Discrete Math. Appl., 2002, vol. 12, no. 5, pp. 477–482. doi: 10.4213/dm252
12. Skiba A.N. On local formations of the length 5. In: Arithmetic and subgroup structure of finite groups. Minsk: Nauka i Tekhnika Publ., 1986, pp. 149–156.
13. Skiba A.N. Algebra of formations. Minsk: Belarusskay Nauka Publ., 1997, 240 p. ISBN: 985-08-0078-x .
14. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiply $\frak L$-composite formations of finite groups. Ukr. Math. J., 2000, vol. 52, no. 6, pp. 898–913. doi: 10.1007/BF02591784
15. Skiba A.N., Shemetkov L.A. Multiply $\omega$-local formations and Fitting classes of finite groups. Siberian Adv. Math., 2000, vol. 10, no. 2, pp. 112–141.
16. Vasil’ev A.F., Kamornikov S.F., Semenchuk V.N. On the lattices of subgroups of finite groups. In: Infinite groups and adjacent algebraic systems. Kiev: Institute of Mathematics of Academy of Sciences of Ukraine, 1993, pp. 27–54.
17. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. $\Omega$-Foliated formations and Fitting classes of finite groups. Discrete Math. Appl., 2001, vol. 11, no. 5, pp. 507–527. doi: 10.4213/dm299
18. Vedernikov V.A., Sorokina M.M. $\omega$-Fibered formations and Fitting classes of finite groups. Math. Notes, 2002, vol. 71, no. 1, pp. 39–55. doi: 10.4213/dm299
19. Vedernikov V.A. On new types of $\omega$-fibered formations of finite groups. In: Ukrainian Mathematical Congress – 2001. Section 1. Kiev: Inst. Matematiki NAN Ukrainy, 2002, ISBN: 966-02-2732-9 , pp. 36–45.
20. Vorob’ov N.N. Algebra of classes of finite groups. Vitebsk: BSU named after P.M. Masherov, 2012, 322 p. ISBN: 978-985-517-393-0 .
21. Wielandt H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen. Math Z., 1939, vol. 45, pp. 209–244. doi: 10.1007/BF01580283
Received October 5, 2020
Revised January 18, 2021
Accepted January 25, 2021
Seraphim Pavlovich Maksakov, Posgraduate student, Department of Mathematical Analysis, Algebra and Geometry, Bryansk State University named after Academician I.G. Petrovsky, Bryansk, 241036 Russia, e-mail: msp222@mail.ru
Cite this article as: S.P. Maksakov. On the lattices of the ω-fibered formations of finite groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 258–267.
Русский
С.П. Максаков. О решетках ω-веерных формаций конечных групп
Рассматриваются только конечные группы и классы конечных групп. Решеточный подход к изучению формаций групп был впервые применен А.Н. Скибой в 1986 г. Л.А. Шеметков и А.Н. Скиба установили основные свойства решеток локальных формаций и $\omega$-локальных формаций, где $\omega$ - непустое подмножество множества $\mathbb{P}$ всех простых чисел. В 1999 г. В.А.Ведерников и М.М. Сорокина ввели понятие $\omega$-веерных формаций, одним из типов которых являются $\omega$-локальные формации. Рассмотрим функции $f:\omega\cup\{\omega'\}\rightarrow$ $\{$формации групп$\}$, где $f(\omega')\neq\varnothing$, и $\delta:\mathbb{P}\rightarrow\{$непустые формации Фиттинга$\}$. Формация $\frak F=(G\ \vert \ G/O_\omega(G)\in f(\omega')$ и $G/G_{\delta (p)}\in f(p)$ для всех $p\in\omega\cap\pi(G))$ называется $\omega$-веерной формацией с направлением $\delta$ и $\omega$-спутником $f$, где $O_{\omega}(G)$ - наибольшая нормальная $\omega$-подгруппа $G$, $G_{\delta(p)}$ - $\delta(p)$-радикал $G$, т.е. наибольшая нормальная подгруппа $G$ из класса $\delta(p)$, и $\pi(G)$ - множество простых делителей порядка группы $G$. Изучаются свойства решеток $\omega$-веерных формаций групп. Доказана модулярность решетки $\Theta_{\omega\delta}$ всех $\omega$-веерных формаций с направлением $\delta$. Рассмотрена её подрешетка $\Theta_{\omega \delta}(\frak F)$ для некоторой $\omega$-веерной формации $\frak F$ с направлением $\delta$. Найдены достаточные условия, при которых $\Theta_{\omega \delta}(\frak F)$ является дистрибутивной решеткой с дополнениями.
Ключевые слова: конечная группа, класс групп, формация, $\omega$-веерная формация, решетка, модулярная решетка, дистрибутивная решетка, решетка с дополнениями
