A.A. Kovalevsky. On the convergence of minimizers and minimum values in variational problems with pointwise functional constraints in variable domains ... P. 246-257

УДК 517.972

MSC: 49J40, 49J45

DOI: 10.21538/0134-4889-2021-27-1-246-257

Full text

We consider a sequence of convex integral functionals $F_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$ and a sequence of weakly lower semicontinuous and, in general, non-integral functionals $G_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$, where $\{\Omega_s\}$ is a sequence of domains in $\mathbb R^n$ contained in a bounded domain $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$) and $p>1$. Along with this, we consider a sequence of closed convex sets $V_s=\{v\in W^{1,p}(\Omega_s): M_s(v)\leqslant 0$ a.e. in $\Omega_s\}$, where $M_s$ is a mapping from $W^{1,p}(\Omega_s)$ to the set of all functions defined on $\Omega_s$. We describe conditions under which minimizers and minimum values of the functionals $F_s+G_s$ on the sets $V_s$ converge to a minimizer and the minimum value of a functional on the set $V=\{v\in W^{1,p}(\Omega): M(v)\leqslant 0$ a.e. in  $\Omega\}$, where $M$ is a mapping from $W^{1,p}(\Omega)$ to the set of all functions defined on $\Omega$. In particular, for our convergence results, we require that the sequence of spaces $W^{1,p}(\Omega_s)$ is strongly connected with the space $W^{1,p}(\Omega)$ and the sequence $\{F_s\}$ ${\it\Gamma}$-converges to a functional defined on $W^{1,p}(\Omega)$. In so doing, we focus on the conditions on the mappings $M_s$ and $M$ which, along with the corresponding requirements on the involved domains and functionals, ensure the convergence of solutions of the considered variational problems. Such conditions have been obtained in our recent work, and, in the present paper, we advance in studying them.

Keywords: variational problem, integral functional, pointwise functional constraint, minimizer, minimum value, ${\it\Gamma}$-convergence, strong connectedness, variable domains

REFERENCES

1.   Murat F. Sur l’homogeneisation d’inequations elliptiques du 2eme ordre, relatives au convexe $K(\psi_1,\psi_2)=$ $\{v\in H^1_0(\Omega)\,|\,\psi_1\leqslant v\leqslant\psi_2$ p.p. dans $\Omega\}$}. 1976. Publ. Laboratoire d’Analyse Numerique, no. 76013. Univ. Paris VI, 23 p.

2.   Dal Maso G. Asymptotic behaviour of minimum problems with bilateral obstacles. Ann. Mat. Pura Appl. (4), 1981, vol. 129, no. 1, pp. 327–366. doi: 10.1007/BF01762149 

3.   Dal Maso G. Limits of minimum problems for general integral functionals with unilateral obstacles. Atti Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8), 1983, vol. 74, no. 2, pp. 55–61.

4.   Boccardo L., Murat F. Homogenization of nonlinear unilateral problems. In: Composite media and homogenization theory. Progr. Nonlinear Differential Equations Appl., vol. 5, Boston: Birkhauser, 1991, pp. 81–105. doi: 10.1007/978-1-4684-6787-1_6 

5.   Kovalevsky A.A. On the convergence of solutions to bilateral problems with the zero lower constraint and an arbitrary upper constraint in variable domains. Nonlinear Anal., 2016, vol. 147, pp. 63–79. doi: 10.1016/j.na.2016.09.001 

6.   Dal Maso G. An introduction to Γ-convergence. Boston: Birkhauser, 1993, 352 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0327-8 

7.   Zhikov V.V., Kozlov S.M., Oleinik O.A., Ha Tien Ngoan. Averaging and G-convergence of differential operators. Russian Math. Surveys, 1979, vol. 34, no. 5, pp. 69–147. doi: 10.1070/RM1979v034n05ABEH003898 

8.   Kovalevsky A.A. On the convergence of solutions of variational problems with pointwise functional constraints in variable domains. Ukr. Math. Bull., 2020, vol. 17, no. 4, pp. 509–537. doi: 10.37069/1810-3200-2020-17-4-3 

9.   Vainberg M.M. Variational method and method of monotone operators in the theory of nonlinear equations. N Y: Wiley, 1974, 368 p. ISBN: 0470897759 .

Received  December 16, 2020

Revised    January 16, 2021

Accepted  February 1, 2021

Funding Agency: This work was partially supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Aleksandr Al’bertovich Kovalevsky, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Institute of Natural Sciences and Mathematics, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: alexkvl71@mail.ru

Cite this article as: A.A. Kovalevsky. On the convergence of minimizers and minimum values in variational problems with pointwise functional constraints in variable domains, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2021, vol. 27, no. 1, pp. 246–257.

Русский

А.А. Ковалевский. О сходимости минимизантов и минимальных значений в вариационных задачах с поточечно функциональными ограничениями в переменных областях

Рассмотрены последовательность выпуклых интегральных функционалов $F_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$ и последовательность слабо полунепрерывных снизу и, вообще говоря, не интегральных функционалов $G_s:W^{1,p}(\Omega_s)\to\mathbb R$, где $\{\Omega_s\}$ - последовательность областей в $\mathbb R^n$, содержащихся в ограниченной области $\Omega\subset\mathbb R^n$ ($n\geqslant 2$), и $p>1$. Наряду с этим рассмотрена последовательность замкнутых выпуклых множеств $V_s=\{v\in W^{1,p}(\Omega_s): M_s(v)\leqslant 0$ п.в. в $\Omega_s\}$, где $M_s$ - отображение $W^{1,p}(\Omega_s)$ во множество всех функций, определенных на $\Omega_s$. Описаны условия, при которых минимизанты и минимальные значения функционалов $F_s+G_s$ на множествах $V_s$ сходятся к минимизанту и минимальному значению некоторого функционала на множестве $V=\{v\in W^{1,p}(\Omega): M(v)\leqslant 0$ п.в. в $\Omega\}$, где $M$ - отображение $W^{1,p}(\Omega)$ во множество всех функций, определенных на $\Omega$. В частности, требуется, чтобы последовательность пространств $W^{1,p}(\Omega_s)$ была сильно связана с пространством $W^{1,p}(\Omega)$ и последовательность $\{F_s\}$ ${\it\Gamma}$-сходилась к функционалу, определенному на $W^{1,p}(\Omega)$. При этом основное внимание уделено условиям на отображения $M_s$ и $M$, которые вместе с соответствующими требованиями на участвующие области и функционалы обеспечивают сходимость решений рассматриваемых вариационных задач. Такие условия были получены в нашей недавней работе, и в настоящей статье мы продвинулись в их изучении.

Ключевые слова: вариационная задача, интегральный функционал, поточечно функциональное ограничение, минимизант, минимальное значение, ${\it\Gamma}$-сходимость, сильная связанность, переменные области