М.Ш. Шабозов, О.А. Джурахонов. Приближение в среднем некоторых классов функций двух переменных суммами Фурье – Чебышева ... С. 268-278

УДК 517.5

MSC: 42A10, 41A17, 41A44

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-268-278

В пространстве $L_{2,\rho}$ функций двух переменных, суммируемых с квадратом на множестве $Q=[-1,1]^2$ с весом $\rho(x,y)={1}/{\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}},$ получены точные неравенства типа Джексона — Стечкина, в которых величины наилучших полиномиальных приближений оцениваются сверху через $\mathcal{K}$-функционал Петре. Вычислены точные значения различных поперечников классов функций, задаваемых обобщенными модулями непрерывности  и $\mathcal{K}$-функционалами. Также вычислены верхние грани модулей коэффициентов Фурье — Чебышева на рассматриваемых классах функций.

Ключевые слова: приближения, обобщенный модуль непрерывности,  двойной ряд Фурье – Чебышева, оператор обобщенного сдвига

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М.: Физматгиз, 1983. 384 p.

2.   Васильев Н.И., Клоков Ю.А., Шкерстена  А.Я. Применение полиномов Чебышева в численном анализе. Рига: Зинатне, 1984 . 240 с.

3.   Beerends R.I. Chebyshev polynomials in several variables and the radial part of the Laplace–Beltrami operator // Trans. Amer. Math. Sec., 1991. Vol. 328, no. 2. P. 1951–1961. doi: 10.1090/S0002-9947-1991-1019520-3 

4.   Lidl R. Tschebyscheff polynome in mehreren Variablen // J. reine und angew. Math. 1975. Bd. 273. S. 178–198. doi: 10.1515/crll.1975.273.178 

5.   Ricci P.E. I polynomi di Tchbycheff in piu variabli // Rend. Math. Appl. 1978. Vol. 11, no. 2. P. 295–327.

6.   Суетин П.К. Ортогональные многочлены по двум переменным. М.: Наука, 1988. 384 с.

7.   Абилов В.А., Керимов М.К. Об оценках остаточных членов кратных рядов Фурье — Чебышева и кубатурных формул Чебышевского типа // Журн. вычислит. математики и мат. физики. 2003. Т. 43, № 5. С. 643–663.

8.   Джурахонов О. А. Приближение функций двух переменных “круговыми” суммами Фурье — Чебышева в $L_{2,\rho}$ // Владикавказ. мат. журн. 2020. T. 22, вып 2. С. 5–17.

9.   Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теории вложения. М.: Наука, 1977. 456 с.

10.   Вакарчук С.Б., Швачко А.В. О наилучшей аппроксимации в среднем а алгебраическими полиномами с весом и точных значениях поперечников классов функций // Укр. мат. журн. 2013. Т. 65, № 12. С. 1604–1621.

11.   Вакарчук С.Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева — Эрмита и поперечники функциональных классов // Мат. заметки. 2014. Т. 95, вып. 5. С. 666–684.

12.   Pinkus A. n-Widths in approximation theory. Berlin: Springer–Verlag, 1985. 294 p.

13.   Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: Изд-во МГУ, 1976. 304 c.

14.   Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992. 225 c.

Поступила 08.08.2020

После доработки 16.11.2020

Принята к публикации 23.11.2020

Шабозов Мирганд Шабозович 
д-р физ.-мат. наук, профессор, 
академик НАН Республики Таджикистан
Таджикский национальный университет
Республика Таджикистан
г. Душанбе, 
e-mail: shabozov@mail.ru

Джурахонов Олимджон Акмалович 
заведующий кафедры функционального анализа и диф.уравнений 
Таджикский национальный университет, 
Республика Таджикистан
г. Душанбе
e-mail: olim1974@mail.ru

Ссылка на статью:  М.Ш. Шабозов, О.А. Джурахонов. Приближение в среднем некоторых классов функций двух переменных суммами Фурье – Чебышева // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 268-278

English

M.Sh. Shabozov, O.A. Dzhurakhonov. Approximation in the mean of some classes of bivariate functions by Fourier–Chebyshev sums

In space $L_{2,\rho}$ of bivariate functions summable with square on set $Q=[-1,1]^2$ with weight $\rho(x,y)={1}/{\sqrt{(1-x^{2})(1-y^{2})}}$ the sharp inequalities of Jackson--Stechkin type in which the best polynomial approximation estimated above by Peetre $\mathcal{K}$-functional were obtained. We also find the exact values of various widths of classes of functions defined by generalized modulus of continuity and $\mathcal{K}$-functionals. Also the exact upper bounds for modules of coefficients of Fourier--Tchebychev on considered classes of functions were calculated.

Keywords: approximation, generalized modulus of continuity, Fourier–Chebyshev double series, generalized translation operator

Received August 08, 2020

Revised November 16, 2020

Accepted November 23, 2020

Mirgand Shabozovich Shabozov, Dr. Sci. (Phys.-Math.), Prof., member of Academy of NAN Tajikistan, Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikistan,  e-mail: shabozov@mail.ru

Olimjon Akmalovich Jurakhonov, Tajik National University, Dushanbe, Associate Professor of the Department of Functional Analysis and Differential Equations, 734025 Republic of Tajikistan, e-mail: olim1974@mail.ru

Cite this article as: M.Sh. Shabozov, O.A. Dzhurakhonov. Approximation in the mean of some classes of bivariate functions by Fourier–Chebyshev sums, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 268–278.

[References -> on the "English" button bottom right]