Д.А. Ямковой. Гармонические интерполяционные всплески в краевой задаче Неймана в кольце ... С. 279-289

УДК 517.518.85+519.632.4

MSC: 35J25, 41A05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-279-289

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре.

В данной статье рассматривается краевая задача Неймана в центрально-симметричном кольце с единичным внешним радиусом и непрерывными граничными значениями. Решение поставленной задачи основано на разложении в ряд непрерывных граничных значений по интерполяционным и интерполяционно-ортогональным 2π-периодическим всплескам, состоящим из тригонометрических полиномов. Идея подобного разложения и конструкция интерполяционных и интерполяционно-ортогональных 2π-периодических всплесков, построенных на основе функций мейеровского типа, принадлежат Ю.Н. Субботину и Н.И. Черных. Удобство построенных рядов состоит в том, что они легко продолжаются до гармонических в круге полиномов, с помощью которых уже удается представить решение исходной задачи в кольце в виде двух равномерно сходящихся в замыкании этого кольца рядов. Также коэффициенты этих рядов легко считаются и не требуют вычисления интегралов. В результате получено точное представление решения краевой задачи Неймана в кольце в виде двух рядов по упомянутой выше системе гармонических всплесков, и найдена погрешность приближения точного решения частичными суммами этих рядов.

Ключевые слова: интерполяционные всплески, гармонические функции, задача Неймана

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Гармонические всплески в краевых задачах для гармонических и бигармонических функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2010. Т. 16, № 4. C. 281–296. doi: 10.1134/S0081543811050154 

2.   Meyer Y Ondelettes et operateurs. Paris: Herman, 1990. 215 p.

3.   Offin D., Oskolkov K. A note on orthonormal polynomial bases and wavelets // Constructive Approximation. 1993. Vol. 9. P. 319–325. doi: 10.1007/BF01198009 

4.   Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Интерполяционные всплески в краевых задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. C. 257–268. doi: 10.21538/0134-4889-2016-22-4-257-268 

5.   Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Интерполяционно-ортогональные системы всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 3. C. 153–161. doi: 10.1134/S0081543809050083 

6.   Yamkovoi D. Harmonic interpolating wavelets in Neumann boundary value problem in a circle // Ural Math. J. 2019. Vol. 5, № 1. P. 91–100. doi: 10.15826/umj.2019.1.009 

7.   Голузин Г.М. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения Laplace’a и многосвязных областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Мат. сб. 1934. Т. 41, № 2. C. 246–276.

Поступила 1.08.2020

После доработки 16.10.2020

Принята к публикации 23.10.2020

Ямковой Дмитрий Анатольевич
младший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
ассистент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: dmitriiyamkovoi@bk.ru

Ссылка на статью: Д.А. Ямковой. Гармонические интерполяционные всплески в краевой задаче Неймана в кольце  // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 279-289

English

D.A. Yamkovoi. Harmonic interpolating wavelets in the Neumann boundary value problem in a ring

We consider the Neumann boundary value problem with continuous boundary values in a centrally symmetric ring with unit outer radius. The approach to solving the problem is based on expanding the continuous boundary values in interpolating and interpolating orthogonal 2π-periodic wavelets consisting of trigonometric polynomials. The idea for such an expansion and the scheme of interpolating and interpolating orthogonal 2π-periodic wavelets based on Meyer-type wavelets were proposed by Yu.N. Subbotin and N.I. Chernykh. It is convenient to use these series due to the fact that they are easily extended to polynomials harmonic in a circle, and the harmonic polynomials can be used to present the solution of the original problem in a ring as two series uniformly convergent in the closure of the ring. Moreover, the coefficients of the series are easily calculated and do not require the calculation of integrals. As a result, we obtain an exact representation for the solution of the Neumann boundary value problem in the ring in the form of two series in the mentioned system of harmonic wavelets and find an estimate for the error of approximating the exact solution by partial sums of the series.

Keywords: interpolating wavelets, harmonic functions, Neumann boundary value problem

Received August 1, 2020

Revised October 16, 2020

Accepted October 23, 2020

Funding Agency: This study is a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center.

Dmitry Anatolyevich Yamkovoi, Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: dmitriiyamkovoi@bk.ru

Cite this article as: D.A. Yamkovoi. Harmonic interpolating wavelets in the Neumann boundary value problem in a ring, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 279–289.

[References -> on the "English" button bottom right]