Н.И. Черных. Периодические всплески на многомерной сфере и их применение для аппроксимации функций ... С. 255-267

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 42B35, 65T60.

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-255-267

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре, а также при поддержке Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

В данной работе авторская схема конструкции кратно масштабного анализа (КМА) на сфере в $\mathbb R^3$ относительно сферических координат, опубликованная в 2019 г., распространена на сферы в $\mathbb R^n\ (n\ge 3)$. При этом, в отличие от других работ, используются лишь периодические всплески на оси и их тензорные произведения. Исследованы аппроксимативные свойства только всплесков, построенных на базе простейших одномерных всплесков типа Котельникова - Мейера с компактным носителем их преобразований Фурье. Реализация идеи гладкого продолжения функций со сферы до $2\pi$-периодических в полярных координатах аналитически (без сложной геометрической интерпретации, проделанной автором ранее в $\mathbb R^3$) оказалась очень простой.

Ключевые слова: всплески, масштабирующие функции, аппроксимация

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Chernykh N.I. Interpolating wavelets on the sphere // Ural Math. J. 2019. Vol. 5, no. 2. P. 3–12. doi: 10.15826/umj.2019.2.001 

2.   Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Интерполяционно-ортогональные системы всплесков // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2008. Т. 14, № 3. С. 153–161.

3.   Субботин Ю.Н., Черных Н.И. Интерполяционные всплески в краевых задачах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2016. Т. 22, № 4. С. 257–268.

4.   Dahlke S., Dahmen W., Weinreich I., Schmitt E. Multiresolution analysis and wavelets on $\mathbb S^2$ and $\mathbb S^3$  // Numer. Funct. Anal. Optim. 1995. Vol. 16, no. 1–2. P. 19–41. doi: 10.1080/01630569508816605 

5.   Potts D., Tasche M. Interpolatory wavelets on the sphere // Approximation Theory. 1995. Vol. 8. P. 335–342. doi: 10.1142/9789814532600 

6.   Schroder P., Sweldens W. Spherical wavelets: Efficiently representing functions on the sphere // Wavelets in the Geosciences. Lect. Notes in Earth Sci. 1995. Vol. 90. P. 158–188. doi: 10.1007/BFb0011096 

7.   Narcowich F.J., Ward J.D. Nonstationary wavelets on the m-sphere for scattered data // Appl Appl. Comput. Harmon. Anal. 1996. Vol. 3. P. 324–336. doi: 10.1006/acha.1996.0025 

8.   Freeden W., Schreiner M. Orthogonal and nonorthogonal multiresolution analysis, scale discrete and exact fully discrete wavelet transform on the sphere // Constr. Approx. 1998. Vol. 14, no. 4. P. 493–515. doi: 10.1007/s003659900087 

9.   Farkov Yu. B-spline wavelets on the sphere // Proc. of the Intern. Workshop “Self-Similar Systems”. 1999. Vol. 30. P. 79–82.

10.   Skopina M.A. Polynomial expansions of continuous functions on the sphere and on the disk: IMI Research Reports / Department of Mathematics, University of South Carolina. 2001. Vol. 5. 13 p.

11.   Weinreich I. A construction of $C^1$-wavelets on the two-dimensional sphere // Appl. Comput. Harmon. Anal. 2001. Vol. 10. P. 1–26. doi: 10.1006/acha.2000.0330 

12.   Askari-Hemmat A., Dehghan M.A., Skopina M.A. Polynomial wavelet-type expansions on the sphere // Math. Notes. 2003. Vol. 74, no. 2. P. 278–285. doi: 10.1023/A:1025016510773 

13.   Narcowich F.J., Petrushev P., Ward J.D. Localized tight frames on spheres // SIAM J. Math. Anal. 2006. Vol. 38. P. 574–594. doi: 10.1137/040614359 

14.   Dai F. Characterizations of function spaces on the sphere using frames // Trans. Amer. Math. Soc. 2007. Vol. 359, no. 2. P. 567–589. doi: 10.1090/S0002-9947-06-04030-X 

15.   Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М.: Наука, 1974. 808 с.

16.   Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 2. С. 34–47. doi: 10.1134/S0081543814020023 

17.   Дейкалова М.В. Функционал Тайкова в пространстве алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Мат. заметки. 2008. Т. 84, вып. 4. С. 532–551.

18.   Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона — Стечкина в пространстве $L^2$ функций на многомерной сфере // Мат. заметки. 1996. Т. 60, вып. 3. С. 333–355.

Поступила 28.09.2020

После доработки 4.11.2020

Принята к публикации 16.11.2020

Черных Николай Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: Chernykh@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Н.И. Черных. Периодические всплески на многомерной сфере и их применение для аппроксимации функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 255-267

English

N.I. Chernykh. Periodic wavelets on a multidimensional sphere and their application for function approximation

The author's scheme for constructing a multiresolution analysis on a sphere in $\mathbb R^3$ with respect to the spherical coordinates, which was published in 2019, is extended to spheres in $\mathbb R^n$ $(n\ge 3)$. In contrast to other papers, only periodic wavelets on the axis and their tensor products are used. Approximation properties are studied only for the wavelets based on the simplest scalar wavelets of Kotel'nikov-Meyer type with the compact support of their Fourier transforms. The implementation of the idea of a smooth continuation of functions from a sphere to $2\pi$-periodic functions in the polar coordinates analytically (without the complicated geometric interpretation made by the author earlier in $\mathbb R^3$) turned out to be very simple.

Keywords: wavelet, scaling function, approximation

Received September 28, 2020

Revised November 4, 2020

Accepted November 16, 2020

Funding Agency: This study is a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center and was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Nikolai Ivanovich Chernykh, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: chernykh@imm.uran.ru

Cite this article as: N.I. Chernykh. Periodic wavelets on a multidimensional sphere and their application for function approximation, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 255–267.

[References -> on the "English" button bottom right]