С.И. Новиков, В.Т. Шевалдин. Экстремальная интерполяция на полуоси с наименьшим значением нормы третьей производной ... С. 210-223

УДК 519.65

MSC: 41A15

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-210-223

Работа выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре.

В работе рассмотрена следующая задача. Для класса интерполируемых последовательностей $y=\{y_{k}\}_{k=-\infty}^{+\infty}$ действительных чисел, у которых разделенные разности третьего порядка, построенные по произвольным узлам $\{x_{k}\}_{k=-\infty}^{+\infty}$, ограничены по модулю фиксированным положительным числом, на классе функций, имеющих почти всюду третью производную, требуется найти функцию $f$ такую, что $f(x_{k})=y_{k}\ (k\in\mathbb{Z})$, и третья производная которой имеет наименьшую $L_{\infty}$-норму. В работе получено решение этой задачи на положительной полуоси $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$ для геометрических сеток, последовательность шагов которых $h_{k}=x_{k+1}-x_{k}\ (k\in\mathbb{Z})$ образует геометрическую прогрессию со знаменателем $p$ $(p>1)$, т.\,е. $h_{k+1}/h_{k}=p$. В случае равномерной сетки $x_{k}=kh\ (h>0,k\in\mathbb{Z})$ на всей оси $\mathbb{R}$ (т.\,е. при $p=1$) эта задача была решена Ю.Н. Субботиным в 1965 году и известна как задача Яненко - Стечкина - Субботина экстремальной функциональной интерполяции.

Ключевые слова: интерполяция, разделенная разность, сплайны, разностное уравнение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1967. 376 с.

2.   Favard J. Sur l’interpolation // J. Math. Pures Appl. 1940. Vol. 19. P. 281–306.

3.   Субботин Ю.Н. О связи между конечными разностями и соответствующими производными // Тр. МИАН СССР. 1965. Т. 78. С. 24–42.

4.   Субботин Ю.Н. Функциональная интерполяция в среднем с наименьшей n-й производной // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 88. С. 30–60.

5.   Kunkle Th. Favard’s interpolation problem in one or more variables // Constructive Approxim. 2002. Vol. 18. P. 467–478. doi: 10.1007/s00365-001-0015-7 

6.   Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения М.: Мир, 1972. 316 с.

7.   Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядрами, зависящими от разности аргументов // Успехи матем. наук. 1958. Т. 13, № 5 (83). С. 3–120.

8.   Субботин Ю.Н. Экстремальные задачи функциональной интерполяции и интерполяционные в среднем сплайны // Тр. МИАН СССР. 1975. Т. 138. С. 118–173.

Поступила 9.09.2020

После доработки 23.10.2020

Принята к публикации 2.11.2020

Новиков Сергей Игоревич
канд. физ.-мат. наук
старший научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru

Шевалдин Валерий Трифонович
д-р физ.-мат. наук
ведущий научный сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

Ссылка на статью: С.И. Новиков, В.Т. Шевалдин. Экстремальная интерполяция на полуоси с наименьшим значением нормы третьей производной // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 210-223

English

S.I. Novikov, V.T. Shevaldin. Extremal interpolation on the semiaxis with the smallest norm of the third derivative

The following problem is considered. For a class of interpolated sequences $y=\{y_{k}\}_{k=-\infty}^{+\infty}$ of real numbers such that their third-order divided difference constructed for arbitrary knots $\{x_{k}\}_{k=-\infty}^{+\infty}$ are bounded in absolute value by a fixed positive number, it is required to find a function $f$ having the third derivative almost everywhere and such that $f(x_{k})=y_{k}\ (k\in\mathbb{Z})$ and the third derivative has the smallest $L_{\infty}$-norm. The problem is solved on the positive semiaxis $\mathbb{R}_{+}=(0,+\infty)$ for  geometric grids in which the sequence of steps $h_{k}=x_{k+1}-x_{k}$ $(k\in\mathbb{Z})$ is a geometric progression with ratio~$p$ $(p>1)$; i.e., $h_{k+1}/h_{k}=p$. In the case of a uniform grid $x_{k}=kh\ (h>0,k\in\mathbb{Z})$ on the whole axis $\mathbb{R}$ (i.e., for $p=1$), this problem was solved by Yu.N. Subbotin in 1965 and is known as the Yanenko-Stechkin-Subbotin problem of extremal function interpolation.

Keywords: interpolation, divided difference, splines, difference equation

Received September 30, 2020

Revised October 23, 2020

Accepted November 2, 2020

Funding Agency: This study is a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center.

Sergey Igorevich Novikov, Cand.  Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Sergey.Novikov@imm.uran.ru

Valerii Trifonovich Shevaldin, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: Valerii.Shevaldin@imm.uran.ru

Cite this article as: S.I. Novikov, V.T. Shevaldin. Extremal interpolation on the semiaxis with the smallest norm of the third derivative, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 210–223.

[References -> on the "English" button bottom right]