С.В. Конягин, А.Ю. Шадрин. Об устойчивом восстановлении аналитических функций по выборке из коэффициентов ряда Фурье ... С. 182-195

УДК 519.651 + 517.518.454 + 517.518.86

MSC: 65D15, 41A10, 41A17, 42A16

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-182-195

Работа выполнена первым автором при поддержке гранта Правительства Российской Федерации (проект 14.W03.31.0031).

Рассматривается задача об устойчивости восстановления аналитической функции по значениям $2m+1$ коэффициентов ее ряда Фурье, которые могут быть взяты из произвольного симметричного множества $\delta_m \subset \mathbb Z$ мощности $2m+1$. Известно, что для $\delta_m = \{ j\colon |j| \le m\}$, т. е. если коэффициенты берутся последовательно,  наибольшей возможной скоростью сходимости при устойчивом восстановлении является экспонента  от квадратного корня из $m$.  Любой метод с большей скоростью будет сильно неустойчивым. В частности, экспоненциальная сходимость влечет экспоненциальную же неустойчивость. В этой работе мы показываем, что при свободе выбора множеств $(\delta_m)$ существуют операторы восстановления $(\phi_{\delta_m})$, которые сходятся с экспоненциальной скоростью и при этом почти устойчивы, а именно, с не более чем линейным ростом чисел обусловленности $\kappa_{\delta_m} < c \cdot m$. Мы также показываем, что этот результат не может быть заметно усилен, а именно, для любых множеств $(\delta_m)$ и любых операторов восстановления $(\phi_{\delta_m})$ экспоненциальная сходимость возможна, только если $\kappa_{\delta_m} \ge c \cdot m^{1/2}$.

Ключевые слова: коэффициенты Фурье, устойчивое восстановление, неравенства для многочленов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Adcock B., Hansen A.C. Stable reconstructions in Hilbert spaces and the resolution of the Gibbs phenomenon // Appl. Comput. Harmon. Anal. 2012. Vol. 32, no. 3. P. 357–388. doi: 10.1016/j.acha.2011.07.004 

2.   Adcock B., Hansen A.C., Poon C. Beyond consistent reconstructions: optimality and sharp bounds for generalized sampling, and application to the uniform resampling problem // SIAM. J. Math Anal. 2013. Vol. 45. P. 3132–3167. doi: 10.1137/120895846 

3.   Adcock B., Hansen A.C., Shadrin A. A stability barrier for reconstruction from Fourier samples // SIAM. J. Numer. Anal. 2014. Vol. 52. P. 125–139. doi: 10.1137/130908221 

4.   Platte R. B., Trefethen L.N., Kuijlaars A. B. J. Impossibility of fast stable approximation of analytic functions from equispaced samples // SIAM Rev. 2011. Vol. 53, no. 2. P. 308–318. doi: 10.1137/090774707

5.   Hrycak T., Grochenig K. Pseudospectral Fourier reconstruction with the modified inverse polynomial reconstruction method // J. Comput. Phys. 2010. Vol. 229, no. 3. P. 933–946. doi: 10.1016/j.jcp.2009.10.026

6.   Rivlin T.J. Chebyshev polynomials. From approximation theory to algebra and number theory. N Y: Wiley, 1990. 249 p.

Поступила 29.06.2020

После доработки 10.10.2020

Принята к публикации 19.10.2020

Конягин Сергей Владимирович
лаборатория “Многомерная аппроксимация и приложения”
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова;
Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук
e-mail: konyagin@mi-ras.ru

Шадрин Алексей Юрьевич
dr hab.
DAMTP, Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge, UK
e-mail: A.Shadrin@damtp.cam.ac.uk

Ссылка на статью: С.В. Конягин, А.Ю. Шадрин. Об устойчивом восстановлении аналитических функций по выборке из коэффициентов ряда Фурье // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 182-195

English

S.V. Konyagin, A.Yu. Shadrin. On stable reconstruction of analytic functions from Fourier samples

Stability of reconstruction of analytic functions from the values of $2m+1$ coefficients of its Fourier series is studied. The coefficients can be taken from an arbitrary symmetric set $\delta_m \subset \mathbb Z$ of cardinality $2m+1$. It is known that, for $\delta_m=\{ j: |j| \le m\}$, i.e., if the coefficients are consecutive, the fastest possible convergence rate in the case of stable reconstruction is an exponential function of the square root of $m$. Any method with faster convergence is highly unstable. In particular, exponential convergence implies exponential ill-conditioning. In this paper, we show that, if we are free to choose any sets $(\delta_m)$, there exist reconstruction operators $(\phi_{\delta_m})$ that have exponential convergence rate and are almost stable; specifically, their condition numbers grow at most linearly: $\kappa_{\delta_m}<c \cdot m$. We also show that this result cannot be noticeably strengthened. More precisely, for any sets $(\delta_m)$ and any reconstruction operators $(\phi_{\delta_m})$, exponential convergence is possible only if $\kappa_{\delta_m} \ge c \cdot m^{1/2}$.

Keywords: Fourier coefficients, stable reconstruction, polynomial inequalities

Received June 29, 2020

Revised October 10, 2020

Accepted October 19, 2020

Funding Agency: The work of the first author was supported by a grant of the Government of the Russian Federation (project no. 14.W03.31.0031).

Sergey Vladimirovich Konyagin, Prof., Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Moscow, 119991 Russia; Steklov Mathematical Institute of Russian Academy of Sciences, Moscow, 119991 Russia, e-mail: konyagin@mi-ras.ru

Aleksey Yur’evich Shadrin, dr hab., DAMTP, Centre for Mathematical Sciences, University of Cambridge, UK, e-mail: A.Shadrin@damtp.cam.ac.uk

Cite this article as: S.V. Konyagin, A.Yu. Shadrin. On the stable reconstruction of analytic functions from a sample of Fourier coefficients, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 182–195.

[References -> on the "English" button bottom right]