Н.А. Ильясов. Некоторые дополнения к неравенствам С.Б. Стечкина по прямым и обратным теоремам теории приближений непрерывных периодических функций ... С. 155-181

УДК 517.518.832

MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 42A32

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-155-181

В статье приводятся некоторые дополнения и комментарии к неравенствам между элементами последовательности наилучших приближений $\{E_{n-1}(f)\}_{n=1}^{\infty}$ и модулями гладкости $k$-го порядка $\omega_k(f^{(r)};\delta),$ $\delta\in [0,+\infty)$, функции $f\in C^r(\mathbb T)$, где $k\in \mathbb N,$ $r\in \mathbb Z_+$, $f^{(0)}\equiv f,$ $C^0(\mathbb T)\equiv C(\mathbb T),$ $\mathbb T=(-\pi,\pi]$, полученным С.Б. Стечкиным при исследовании прямых и обратных теорем теории приближений $2\pi$-периодических непрерывных функций и опубликованным в 1951 году. В работе, в частности, установлена справедливость следующих утверждений:

$\mathrm{a)}$ прямая теорема, или неравенство Джексона - Стечкина: $E_{n-1}(f)\le C_1(k)\omega_k(f;\pi/n),\ n\in \mathbb N$, допускает усиление вида $E_{n-1}(f)\le \rho_{n}^{(k)}(f)\equiv n^{-k}\max\{\nu^k E_{\nu-1}(f)\colon 1\le \nu\le n\}\le 2^kC_1(k)\omega_k(f;\pi/n),\ n\in \mathbb N$, которое является точным в смысле порядка на классе всех функций $f\in C(\mathbb T)$ с заданной мажорантой либо с заданным порядком убывания модуля гладкости $\omega_k(f;\delta)$, а именно: для любых $k\in \mathbb N$ и $\omega\in \Omega_k(0,\pi]$ существует функция $f_0(\cdot;\omega)\in C(\mathbb T)$ (точнее, четная $f_0$ при нечетном $k$ и нечетная $f_0$ при четном $k$) такая, что $\omega_k(f_0;\delta)\asymp C_2(k)\omega(\delta)$,\ $\delta\in (0,\pi]$, при этом имеют место порядковые равенства $E_{n-1}(f_0)\asymp C_3(k)\rho_n^{(k)}(f_0)\asymp C_4(k)\omega_k(f_0;\pi/n)\asymp C_5(k)\omega(\pi/n),\ n\in \mathbb N$, где $\Omega_k(0,\pi]$ - класс функций $\omega=\omega(\delta)$, определенных на $(0,\pi]$ и удовлетворяющих условиям: $0<\omega(\delta)\!\downarrow\!0$ $(\delta\downarrow 0)$ и $\delta^{-k}\omega(\delta)\!\downarrow$ $(\delta\uparrow)$;

$\mathrm{b)}$ для справедливости обратной теоремы (без производных), или неравенства Салема - Стечкина: $\omega_k(f;\pi/n)\le C_6(k)n^{-k}\sum_{\nu=1}^n\nu^{k-1}E_{\nu-1}(f)$,\ $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно выполнение неравенства Стечкина $\|T_n^{(k)}(f)\|\le C_7(k)\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k-1}E_{\nu-1}(f),\ n\in \mathbb N$, где $T_n(f)\equiv T_n(f;x)$ - тригонометрический полином наилучшего в $C(\mathbb T)$ приближения функции $f\colon \|f-T_n(f)\|=E_n(f),\ n\in \mathbb Z_+$;

$\mathrm{c)}$ обратную теорему (с производными), или неравенство Валле-Пуссена - Стечкина: $\omega_k(f^{(r)};\pi/n)\le C_8(k,r)\big\{ n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+r-1}E_{\nu-1}(f)+\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)\big\}$,\ $n\in \mathbb N$, а также предшествующее ему неравенство Стечкина $E_{n-1}(f^{(r)})\le C_9(r)\big\{ n^r E_{n-1}(f)+\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)\big\},\ n\in \mathbb N$, при условии $E(f;r)\equiv \sum_{n=1}^{\infty}n^{r-1}E_{n-1}(f) <\infty$, гарантирующем в силу теоремы С.Н. Бернштейна, что $f\in C^r(\mathbb T)$, где $r\in \mathbb N$, можно дополнить ключевыми неравенствами $\|f^{(r)}\|\le C_{10}(r)E(f;r)$,\ $\|T_n^{(r)}(f)\|\le C_{7}(r) \sum_{\nu=1}^n\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f),$ $n\in \mathbb N$, при этом все сформулированные в этом пункте неравенства являются попарно равносильными, т. е. выполнение хотя бы одного из этих неравенств влечет выполнение любого другого неравенства и, следовательно, всех остальных.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, прямая теорема, обратная теорема, порядковое равенство, равносильные неравенства, точное в смысле порядка неравенство на классе

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1951. Т. 15, № 3. С. 219–242.

2.   Стечкин С.Б. О порядке наилучших приближений непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1949. Т. 65, № 2. С. 135–137.

3.   Стечкин С.Б. Обобщение некоторых неравенств С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1948. Т. 60, № 9. С. 1511–1514.

4.   Jackson D.  Uber die Genauigkeit der Annaherung stetiger Funktionen durch ganze rationale Funktionen gegebenen Grades und trigonometrische Summen gegebener Ordnung. Inaugural–Dissertation. Gottingen, 1911. S. 1–99.

5.   Jackson D. On approximation by trigonometric sums and polynomials // Trans. Amer. Math. Soc. 1912. Vol. 13, no. 4. P. 491–515.

6.   Jackson D. The theory of approximation. N.-Y., 1930. 178 p. (Amer. Math. Soc. Colloquium Publ.; vol. 11.)

7.   Zygmund A. Smooth functions // Duke Math. J. 1945. Vol. 12, no. 1. P. 47–76. doi: 10.1215/S0012-7094-45-01206-3

8.   Vallee Poussin Ch.-J. Lecons sur l’approximation des fonctions d’une variable reelle. Paris: Gauthier–Villars, 1919. 150 p.

9.   Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимации. 1-е изд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. 324 с.; 2-е изд. М.: Наука, 1965. 408 с.

10.   Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного. М.: Физматгиз, 1960. 624 с.

11.   Бернштейн С.Н. О свойствах однородных функциональных классов // Докл. АН СССР. 1947. Т. 57, № 2. С. 111–114.

12.   Гейт В.Э. Теоремы вложения для некоторых классов периодических непрерывных функций // Изв. вузов. Математика. 1972. № 4 (119). С. 67–77.

13.   Жук В.В. Аппроксимация периодических функций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1982. 368 с.

14.   Натансон Г.И., Тиман М.Ф. Средние геометрические последовательности наилучших приближений // Вестн. Ленингр. ун-та. 1979. Сер. № 19, вып. 4. С. 50–52.

15.   Натансон И.П. Конструктивная теория функций. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949. 688 с.

16.   Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций. М.: Наука, 1977. 512 с.

17.   Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 936 с.

18.   Жук В.В. Об одном методе суммирования рядов Фурье. Ряды Фурье с положительными коэффициентами // Исследования по некоторым проблемам конструктивной теории функций: сб. науч. тр. Ленингр. механ. ин-та. № 50. Л., 1965. С. 73–92.

19.   Белов А.С. О порядковых оценках наилучших приближений и модулей непрерывности суммы тригонометрического ряда с квазимонотонными коэффициентами // Мат. заметки. 1992. Т. 51, № 4. С. 132–134.

20.   Зигмунд А. Тригонометрические ряды: в 2 т. М.: Мир, 1965. Т. 1. 616 с.; Т. 2. 538 с.

21.   Riesz M. Eine trigonometrische Interpolationsformel und einige Ungleichungen fur Polynome // Jahresber. Deutsch. Math.-Verein. 1914. Bd. 23. S. 354–368.

22.   Никольский С.М. Обобщение одного неравенства С. Н. Бернштейна // Докл. АН СССР. 1948. Т. LX, № 9. С. 1507–1510.

23.   Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. Обобщенный модуль непрерывности и наилучшее приближение в среднем // Докл. АН СССР. 1950. Т. 71, № 1. С. 17–20.

24.   Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. об -ва. 1956. Т. 5. С. 483–522.

25.   Тиман А.Ф., Тиман М.Ф. О зависимости между модулями гладкости функций, заданных на всей вещественной оси // Докл. АН СССР. 1957. Т. 113, № 5. С. 995–997.

26.   Salem R. Sur certaines fonctions continues et les proprietes de leurs series de Fourier // Comptes Rendus de L’Acad. des Sci. 1935. Vol. 201, № 16. P. 703–705.

27.   Salem R. Essais sur les series trigonometriques: Theses le grade de docteur es-sciences mathematiques. Paris, 1940. 85 p.

28.   Бернштейн С.Н. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, I // Сообщения Харьков. мат. об-ва. Вторая сер. 1912. Т. 13, вып. 2–3. С. 49–144.

29.   Quade E.S. Trigonometric approximation in the mean // Duke Math. J. 1937. Vol. 3, № 3. P. 529–543. doi: 10.1215/S0012-7094-37-00342-9.

Поступила 02.06.2020

После доработки 28.08.2020

Принята к публикации 21.09.2020

Ильясов Ниязи Аладдин оглы
канд. физ.-мат. наук, доцент
доцент кафедры математического анализа
Бакинский государственный университет;
Московский центр фундаментальной и прикладной математики
г. Москва
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

Ссылка на статью: Н.А. Ильясов. Некоторые дополнения к неравенствам С.Б. Стечкина по прямым и обратным теоремам теории приближений непрерывных периодических функций // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 155-181

English

N.A. Il’yasov. Some supplements to S.B. Stechkin’s inequalities in direct and inverse theorems on the approximation of continuous periodic functions

We give some supplements and comments to inequalities between elements of the sequence of best approximations $\{E_{n-1}(f)\}_{n=1}^{\infty}$ and the $k$th-order moduli of smoothness $\omega_k(f^{(r)};\delta),$ $\delta\in [0,+\infty)$, of a function $f\in C^r(\mathbb T)$, where $k\in \mathbb N,$ $r\in \mathbb Z_+$, $f^{(0)}\equiv f,$ $C^0(\mathbb T)\equiv C(\mathbb T),$ and $\mathbb T=(-\pi,\pi]$, which were published by S.B. Stechkin in 1951 in the study of direct and inverse theorems of approximation of $2\pi$-periodic continuous functions.
In particular, we prove the following results:

(a)  the direct theorem or the Jackson-Stechkin inequality: $E_{n-1}(f)\le C_1(k)\omega_k(f;\pi/n)$, $n\in \mathbb N$, can be strengthened as $E_{n-1}(f)\le \rho_{n}^{(k)}(f)\equiv n^{-k}\max\{\nu^k E_{\nu-1}(f)\colon 1\le \nu\le n\}\le 2^kC_1(k)\omega_k(f;\pi/n),\ n\in \mathbb N$. This inequality is order-sharp on the class of all functions $f\in C(\mathbb T)$ with a given majorant or with a~given decrease order of the modulus of smoothness $\omega_k(f;\delta)$; namely: for any $k\in \mathbb N$ and $\omega\in \Omega_k(0,\pi]$, there exists a function $f_0(\,{\cdot}\,;\omega)\in C(\mathbb T)$ ($f_0$ is even for odd $k$ and is odd for even $k$) such that $\omega_k(f_0;\delta)\asymp C_2(k)\omega(\delta)$,\ $\delta\in (0,\pi]$. Moreover, order equalities hold: $E_{n-1}(f_0)\asymp C_3(k)\rho_n^{(k)}(f_0)\asymp C_4(k)\omega_k(f_0;\pi/n)\asymp C_5(k)\omega(\pi/n),\ n\in \mathbb N$, where $\Omega_k(0,\pi]$ is the class of functions $\omega=\omega(\delta)$ defined on $(0,\pi]$ and such that $0<\omega(\delta)\!\downarrow\!0$ $(\delta\downarrow\!0)$ and $\delta^{-k}\omega(\delta)\!\downarrow$ $(\delta \uparrow)$;

(b)  a necessary and sufficient condition under which the inverse theorem (without the derivatives), or the Salem-Stechkin inequality $\omega_k(f;\pi/n)\le C_6(k)n^{-k}\sum_{\nu=1}^n\nu^{k-1}E_{\nu-1}(f)$,\ $n\in \mathbb N$, holds is Stechkin's inequality $\|T_n^{(k)}(f)\|\le C_7(k) \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k-1}E_{\nu-1}(f),\ n\in \mathbb N$, where $T_n(f)\equiv T_n(f;x)$ is a trigonometric polynomial of best $C(\mathbb T)$-approximation to the function $f$ (i.e., $\|f-T_n(f)\|=E_n(f),\ n\in \mathbb Z_+$);

(c)  the inverse theorem (with the derivatives), or the Vall$\acute{\mathrm{e}}$e-Poussin-Stechkin inequality $\omega_k(f^{(r)};$ $\pi/n)\le C_8(k,r)\big\{ n^{-k}\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{k+r-1}E_{\nu-1}(f)+\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)\big\}$ for any $n\in \mathbb N$, as well as Stechkin's earlier inequality $E_{n-1}(f^{(r)})\le C_9(r)\big\{ n^r E_{n-1}(f)+\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)\big\},\ n\in \mathbb N$, where $E(f;r)\equiv$ \linebreak $ \sum_{n=1}^{\infty}n^{r-1}E_{n-1}(f)<\infty$ (by S.N. Bernstein's theorem, this inequality guarantees that $f$ lies in $C^r(\mathbb T)$, where $r\in\mathbb N$) can be supplemented with the following key inequalities: $\|f^{(r)}\|\le C_{10}(r)E(f;r)$ and $\|T_n^{(r)}(f)\|\le C_{7}(r)\sum_{\nu=1}^n\nu^{r-1}E_{\nu-1}(f)$, $n\in\mathbb N$. Moreover, all the inequalities formulated in this paragraph are pairwise equivalent; i.e., any of these inequalities implies any other and, hence, all the inequalities.

Keywords: best approximation, modulus of smoothness, direct theorem, inverse theorem, order equality, equivalent inequalities, order-sharp inequality on a class

Received June 2, 2020

Revised August 28, 2020

Accepted September 21, 2020

Niyazi Aladdin ogly Il’yasov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Baku State University, Baku, Azerbaijan;
Moscow Center for Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, Russia,
e-mail: niyazi.ilyasov@gmail.com

Cite this article as: N.A. Il’yasov. Some supplements to S.B.Stechkin’s inequalities in direct and inverse theorems on the approximation of continuous periodic functions, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 155–181.

[References -> on the "English" button bottom right]