В.И. Иванов. Задача Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов ... С. 138-154

УДК 517.5

MSC: 33C45, 41A17, 41A55

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-138-154

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Работа посвящена изучению экстремальной задачи Чебышева 1883 г. о наибольшем и наименьшем значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов с фиксированным нулевым моментом на конечных и бесконечных интервалах с весом. Для первого момента на отрезке $[-1,1]$  задача была решена П.Л. Чебышевым в случае единичного веса и Г. Сеге - в общем случае. Экстремальными значениями первого момента оказались наибольшие и наименьшие нули некоторых ортогональных многочленов. В решении использованы представление неотрицательных многочленов и квадратурная формула Гаусса наивысшей точности. Мы решаем задачу Чебышева об экстремальных значениях моментов порядка $k\ge2$ для любых интервалов $(a,b)$, если $k$ нечетное, и для интервалов, у которых $a\ge 0$ или $b\le 0$, если $k$ четное. Эти интервалы характеризуются тем, что функция $x^k$ на них монотонная. Как и при $k=1$ экстремальные значения моментов порядка $k$ являются $k$-ми степенями наибольших и наименьших нулей некоторых ортогональных многочленов. Другие нули этих многочленов также имеют экстремальный характер. Они дают экстремальные значения в обобщении задачи Чебышева на случай многочленов с фиксированными нулями. Для решения обобщенной задачи Чебышева построены специальные квадратурные формулы. Решение задачи Чебышева получается как частный случай решения обобщенной задачи Чебышева. В некоторых случаях из-за отсутствия второго конца у бесконечного интервала не удается построить необходимые квадратурные формулы и приходится непосредственно решать задачу Чебышева, опираясь на представление неотрицательных многочленов. Кроме отмеченных случаев для моментов четного порядка удается решить задачу Чебышева на интервале $(-a,a)$, если вес четный. В общем случае вопрос о решении задачи Чебышева для моментов четного порядка остается открытым.

Ключевые слова: моменты алгебраических многочленов, задача Чебышева, квадратурные формулы, ортогональные многочлены

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Чебышев П.Л. Об отношении двух интегралов, распространенных на одни и те же величины переменной (1883). Полное собрание сочинений. Т.3. М.: Изд-во АН СССР, 1948. С. 132–156.

2.   Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 c.

3.   Горбачев Д.В., Иванов В.И. Лекции о квадратурных формулах и их применении в экстремальных задачах. Тула: Изд-во ТулГУ, 2016. 131 с.

4.   Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М.: Наука, 1967. 500 с.

5.   Иванов В.И. Экстремальные значения моментов неотрицательных многочленов // Мат. заметки. 2020. Т. 108, № 4. C. 625–628.

6.   Островский А.М. Решение уравнений и систем уравнений. М.: ИЛ, 1963. 220 с.

7.   Gautschiy W. Orthogonal polynomials and quadrature // Electronic Transactions on Numerical Analysis. 1999. Vol. 9. P. 65–76.

8.   Шашкин Ю.А. Неподвижные точки. М.: Наука, 1989. 80 c.

9.   Полиа Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. Ч. 2. М.: Наука, 1978. 432 p.

10.   Levenshtein V.I. Universal bounds for codes and designs // Handbook of Coding Theory / eds. V. S. Pless and W. C. Huffman Amsterdam: Elsevier, 1998. P. 499–648.

Поступила 31.08.2020

После доработки 5.11.2020

Принята к публикации 9.11.2020

Иванов Валерий Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. кафедрой
Тульский государственный университет, г. Тула
e-mail: ivaleryi@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Иванов. Задача Чебышева об экстремальных значениях моментов неотрицательных алгебраических многочленов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 138-154

English

V.I. Ivanov. Chebyshev’s problem on extremal values of moments of nonnegative algebraic polynomials

The paper is devoted to the study of the 1883 Chebyshev problem on the maximum and minimum values of the moments of nonnegative algebraic polynomials with a fixed zero moment on finite and infinite intervals with weight. For the first moment on the segment $[-1,1]$, the problem was solved by P.L. Chebyshev in the case of unit weight and by G. Szeg$\ddot{\mathrm{o}}$ in the general case. The extreme values of the first moment were the largest and smallest zeros of some orthogonal polynomials. Their solution used the representation of non-negative polynomials and the Gauss quadrature formula of the highest accuracy. We solve the Chebyshev problem on the extreme values of the moments of order $k\ge2$ for any intervals $(a, b)$ if $k$ is odd and for intervals with $a\ge 0$ or $b\le 0$ if $k$ is even. These intervals are characterized by the fact that the function $x^k$ is monotone on them. As for $k=1$, the extremal values of moments of order $k$ are the $k$th powers of the largest and least zeros of some orthogonal polynomials. The other zeros of these polynomials are also extreme. They give extreme values in a generalization of the Chebyshev problem to the case of polynomials with fixed zeros. To solve the generalized Chebyshev problem, we constructed special quadrature formulae. The solution to the Chebyshev problem is obtained as a special case of the solution to the generalized Chebyshev problem. In some cases, due to the absence of the second endpoint for an infinite interval, it is not possible to construct the necessary quadrature formulae and one has to directly solve the Chebyshev problem, relying on the representation of non-negative polynomials. In addition to the cases noted above, for moments of even order, it is possible to solve the Chebyshev problem on an interval $(-a,a)$ if the weight is even. In the general case, the question of solving the Chebyshev problem for moments of even order remains open.

Keywords: moments of algebraic polynomials, Chebyshev's problem, quadrature formulae, orthogonal polynomials

Received August 31, 2020

Revised November 5, 2020

Accepted November 9, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Science Foundation (project no. 18-11-00199).

Valerii Ivanovich Ivanov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: ivaleryi@mail.ru

Cite this article as: V.I. Ivanov. Chebyshev’s problem on extremal values of moments of nonnegative algebraic polynomials. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 138–154.

[References -> on the "English" button bottom right]