Д.В. Горбачев, И.А. Мартьянов. Границы полиномиальных констант Никольского в $L^p$ с весом Гегенбауэра ... С. 126-137

УДК 517.5

MSC: 41A17, 42B10

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-126-137

Работа Д.В. Горбачева выполнена в рамках исследований, проводимых в Уральском математическом центре. Исследование И.А. Мартьянова выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-90152.

Мы изучаем границы и асимптотическое поведение при $n\to \infty$ точной константы Никольского в неравенстве $\|u\|_{\infty}\le \mathcal{C}_{\alpha}(n)\|u\|_{p}$ для тригонометрических и алгебраических полиномов степени не больше~$n$ в пространстве $L^{p}$ на $(-\pi,\pi]$ с периодическим весом Гегенбауэра $|\!\sin x|^{2\alpha+1}$ и на $[-1,1]$ с алгебраическим весом Гегенбауэра $(1-x^{2})^{\alpha}$ соответственно. Мы доказываем, что при $p\ge 1$ и всех $\alpha\ge -1/2$ имеем $\mathcal{C}_{\alpha}(n)\sim \mathcal{L}_{p}n^{(2\alpha+2)/p}$, где $\mathcal{L}_{p}$ - точная константа Никольского для целых функций экспоненциального типа не больше $1$ в пространстве $L^{p}$ на $\mathbb{R}$ со степенным весом $|x|^{2\alpha+1}$. Более того, мы даем явные границы вида
\[
n^{(2\alpha+2)/p}\mathcal{L}_{p}\le \mathcal{C}_{\alpha}(n)\le (n+2s_{p,\alpha})^{(2\alpha+2)/p}\mathcal{L}_{p},\quad n\ge 0,
\]
из которых вытекает данная асимптотика. Эти границы позволяют уточнять известные оценки констант Никольского. Мы рассматриваем такой подход на примере алгебраической константы Никольского при $\alpha=0$. Здесь применяется характеризация экстремальных полиномов из работ Д. Амира и З. Зиглера, В.В. Арестова и М.В. Дейкаловой. Наши утверждения обобщают известные результаты С.Б. Стечкина ($p=1$) и Е. Левина и Д. Любинского ($p>0$) в тригонометрическом случае при $\alpha=-1/2$, и М.И. Ганзбург в алгебраическом случае при $\alpha=0$. Для полуцелых $\alpha=d/2-1$ и $p\ge 1$ наша асимптотика может быть выведена из асимптотики многомерной константы Никольского для сферических полиномов в пространстве $L^{p}$ на сфере $\mathbb{S}^{d}$, доказанной Ф. Даи, Д. Горбачевым и С. Тихоновым. Наше доказательство значительно проще, однако оно не охватывает случай $p<1$.

Ключевые слова: неравенство Никольского, точная константа, асимптотика, тригонометрический полином, алгебраический полином, целая функция экспоненциального типа, вес Гегенбауэра

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Amir D., Ziegler Z. Polynomials of extremal $L_p$-norm on the $L_\infty$-unit sphere // J. Approx. Theory. 1976. Vol. 18. P. 86–98. doi: 10.1016/0021-9045(76)90124-6 

2.   Арестов В.В., Дейкалова М.В. Неравенство Никольского для алгебраических многочленов на многомерной евклидовой сфере // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Том 19, № 2. С. 34–47.

3.   Arestov V., Deikalova M. Nikol’skii inequality between the uniform norm and $L_{q}$-norm with ultraspherical weight of algebraic polynomials on an interval // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 4. P. 689–708. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6 

4.   Arestov V., Babenko A., Deikalova M., Horvath A. Nikol’skii inequality between the uniform norm and integral norm with Bessel weight for entire functions of exponential type on the half-Line // Anal. Math. 2018. Vol. 44, no. 1. P. 21–42. doi: 10.1007/s10476-018-0103-6 

5.   Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Estimates of the asymptotic Nikolskii constants for spherical polynomials [e-resource]. 27 p. URL: https://arxiv.org/pdf/1907.03832 

6.   Dai F., Gorbachev D., Tikhonov S. Nikolskii constants for polynomials on the unit sphere // J. d’Anal. Math. 2020. Vol. 140, no. 1. P. 161–185. doi: 10.1007/s11854-020-0084-9 

7.   Dai F., Xu Y. Approximation theory and harmonic analysis on spheres and balls. N Y: Springer-Verlag, 2013. 440 p. doi: 10.1007/978-1-4614-6660-4 

8.   Ganzburg M.I. Sharp constants in V. A. Markov–Bernstein type inequalities of different metrics // J. Approx. Theory. 2017. Vol. 215. P. 92–105. doi: 10.1016/j.jat.2016.11.007 

9.   Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. I. Multivariate Bernstein–Nikolskii type inequalities // J. Fourier Anal. Appl. 2020. Vol. 26, no. 11. doi: 10.1007/s00041-019-09720-x 

10.   Ganzburg M.I. Sharp constants of approximation theory. III. Certain polynomial inequalities of different metrics on convex sets // J. Approx. Theory. 2020. Vol. 252. doi: 10.1016/j.jat.2019.105351 

11.   Ganzburg M.I., Tikhonov S.Yu. On sharp constants in Bernstein–Nikolskii inequalities // Constr. Approx. 2017. Vol. 45, no. 3. P. 449–466. doi: 10.1007/s00365-016-9363-1 

12.   Горбачев Д.В. Интегральная задача Конягина и $(C,L)$-константы Никольского // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2005. Т. 11, № 2. С. 72–91.

13.   Горбачев Д.В., Добровольский Н.Н. Константы Никольского в пространствах $L^{p}(\mathbb{R},|x|^{2\alpha+1}\,dx)$ // Чебышевский сб. 2018. Том 19, № 2. С. 67–79. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-67-79 

14.   Gorbachev D.V., Ivanov V.I., Tikhonov S.Yu. Positive $L^p$-bounded Dunkl-type generalized translation operator and its applications // Constr. Approx. 2019. Vol. 49, no. 3. P. 555–605. doi: 10.1007/s00365-018-9435-5 

15.   Горбачев Д.В., Мартьянов И.А. О взаимосвязи констант Никольского для тригонометрических полиномов и целых функций экспоненциального типа // Чебышевский сб. 2018. Том 19, № 2. С. 80–89. doi: 10.22405/2226-8383-2018-19-2-80-89 

16.   Ибрагимов И.И. Экстремальные задачи в классе тригонометрических полиномов // Докл. АН СССР. 1958. Том 121, № 3. С. 415–417.

17.   Камзолов А.И. О приближении функций на сфере $S^{n}$  // Сердика. 1984. Том  84, № 1. С. 3–10.

18.   Levin E., Lubinsky D. Asymptotic behavior of Nikolskii constants for polynomials on the unit circle // Comput. Methods Funct. Theory. 2015. Vol. 15, no. 3. P. 459–468. doi: 10.1007/s40315-015-0113-3 

19.   Мартьянов И.А. Константа Никольского для тригонометрических полиномов с периодическим весом Гегенбауэра // Чебышевский сб. 2020. Том 21, № 1. С. 247–258. doi: 10.22405/2226-8383-2020-21-1-226-237 

20.   Milovanovic G.V., Mitrinovic D.S., Rassias Th.M. Topics in polynomials: Extremal problems, inequalities, zeros. Singapore: World Scientific Publ. Co., 1994. 836 p.

21.   Никольский С.М. Неравенства для целых функций конечной степени и их применение в теории дифференцируемых функций многих переменных // Тр. МИАН СССР. 1951. Т. 38. С. 244–278.

22.   Nursultanov E., Ruzhansky M., Tikhonov S. Nikolskii inequality and Besov, Triebel–Lizorkin, Wiener and Beurling spaces on compact homogeneous manifolds // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. 2016. Vol. XVI, no. 3. P. 981–1017. doi: 10.2422/2036-2145.201412_008 

23.   Pesenson I. Bernstein–Nikolskii inequalities and Riesz interpolation formula on compact homogeneous manifolds // J. Approx. Theory. 2008. Vol. 150, no. 2. P. 175–198. doi: 10.1016/j.jat.2007.06.001 

24.   Тайков Л.В. Один круг экстремальных задач для тригонометрических полиномов // Успехи мат. наук. 1965. Т. 20, № 3. С. 205–211.

Поступила 13.09.2020

После доработки 2.11.2020

Принята к публикации 9.11.2020

Горбачев Дмитрий Викторович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург;
Тульский государственный университет г. Тула
e-mail: dvgmail@mail.ru

Мартьянов Иван Анатольевич
аспирант
Тульский государственный университет
г. Тула
e-mail: martyanow.ivan@yandex.ru

Ссылка на статью: Д.В. Горбачев, И.А. Мартьянов. Границы полиномиальных констант Никольского в $L^p$ с весом Гегенбауэра // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4.  С. 126-137

English

D.V. Gorbachev, I.A. Mart’yanov. Bounds of the Nikol’skii polynomial constants in $L^p$ with Gegenbauer weight

We study bounds and the asymptotics behavior as $n\to \infty$ of the sharp Nikol'skii constant in the inequality $\|u\|_{\infty}\le \mathcal{C}_{\alpha}(n)\|u\|_{p}$ for trigonometric and algebraic polynomials of degree at most $n$ in the space $L^{p}$ on $(-\pi,\pi]$ with periodic Gegenbauer weight $|\!\sin x|^{2\alpha+1}$ and on $ [- 1,1] $ with algebraic Gegenbauer weight $(1-x^{2})^{\alpha}$, respectively. We prove that for $p\ge 1$ and all $\alpha\ge -1/2$ we have $\mathcal{C}_{\alpha}(n)\sim \mathcal{L}_{p}n^{(2\alpha+2)/p}$, where $\mathcal{L}_{p}$ is the sharp Nikol'skii constant for entire functions of exponential type at most $1$ in the space $L^{p}$ on $\mathbb{R}$ with the power weight $|x|^{2\alpha+1}$. Moreover, we give explicit bounds of the form \[ n^{(2\alpha+2)/p}\mathcal{L}_{p}\le \mathcal{C}_{\alpha}(n)\le (n+2s_{p,\alpha})^{(2\alpha+2)/p}\mathcal{L}_{p},\quad n\ge 0, \] from which the given asymptotics follows. These bounds allow one to refine the known estimates of the Nikol'skii constants. We consider such approach using the example of the algebraic Nikol'skii constant for $\alpha=0$. Here we apply the characterization of the extremal polynomials from the works of D. Amir and Z. Ziegler, V. Arestov and M. Deikalova. Our statements generalize the known results of S.B. Stechkin ($p=1$), E. Levin and D. Lubinsky ($p>0$) in the trigonometric case for $\alpha=-1/2$, and M.I. Ganzburg in the algebraic case for $\alpha=0$. For half-integer $\alpha=d/2-1$ and $p\ge 1$, our asymptotics can be derived from the asymptotic of the multidimensional Nikol'skii constant for spherical polynomials in the space ${p}$ on the sphere $\mathbb{S}^{d}$ proved by F. Dai, D. Gorbachev, and S. Tikhonov. Our proof is much simpler, but it does not cover the case $p<1$.

Keywords: Nikol'skii inequality, sharp constant, asymptotic behavior, trigonometric polynomial, algebraic polynomial, entire function of exponential type, Gegenbauer weight

Received September  13, 2020

Revised  November  2, 2020

Accepted  November  9, 2020

Funding Agency: The work of D.V. Gorbachev was supported as part a part of the research carried out at the Ural Mathematical Center. The work of I.A. Martyanov was  supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-31-90152).

Dmitry Viktorovich Gorbachev, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathe\-matics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia; Tula State University, Tula, 300012 Russia, dvgmail@mail.ru

Ivan Anatol'evich Martyanov, doctoral student, Tula State University, Tula, 300012 Russia, e-mail: martyanow.ivan@yandex.ru

Cite this article as:  D.V. Gorbachev, I.A. Mart'yanov. Bounds of the Nikol'skii polynomial constants in $L^{p}$ with Gegenbauer weight, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 126-137.

[References -> on the "English" button bottom right]