М.И. Гомоюнов. Минимаксные решения однородных уравнений Гамильтона – Якоби с коинвариантными производными дробного порядка ... С. 106-125

УДК 517.952

MSC: 35F21, 34A08, 26A33

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-4-106-125

Работа выполнена при поддержке РНФ (проект 19-71-00073).

Рассмотрена задача Коши для однородного уравнения Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными дробного порядка, возникающая в задачах динамической оптимизации систем, описываемых дифференциальными уравнениями с дробными производными Капуто. Дано определение обобщенного решения задачи в минимаксном смысле. Доказано, что такое решение существует, единственно, непрерывно зависит от параметров задачи и согласуется с классическим решением. Получен инфинитезимальный критерий минимаксного решения в виде пары дифференциальных неравенств для подходящих производных по направлениям. Приведен иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: уравнения Гамильтона — Якоби, обобщенные решения, коинвариантные производные, дробные производные

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Субботин А.И. Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона — Якоби. М.: Наука, 1991. 216 с.

2.   Subbotin A.I. Generalized solutions of first order PDEs: The dynamical optimization perspective. Basel: Birkhauser, 1995. 314 p. doi: 10.1007/978-1-4612-0847-1 

3.   Лукоянов Н.Ю. Функциональные уравнения Гамильтона — Якоби и задачи управления с наследственной информацией. Екатеринбург: Изд-во Урал. федерал. ун-та, 2011. 243 с.

4.   Bayraktar E., Keller C. Path-dependent Hamilton–Jacobi equations in infinite dimensions // J. Funct. Anal. 2018. Vol. 275, iss. 8. P. 2096–2161. doi: 10.1016/j.jfa.2018.07.010 

5.   Плаксин А.Р. О минимаксном решении функциональных уравнений Гамильтона — Якоби для систем нейтрального типа // Дифференц. уравнения. 2019. Т. 55, № 11. С. 1519–1527. doi: 10.1134/S0374064119110086 

6.   Gomoyunov M.I. Dynamic programming principle and Hamilton–Jacobi–Bellman equations for fractional-order systems // SIAM J. Control Optim. 2020. Vol. 58, no. 6. P. 3185–3211. doi: 10.1137/19M1279368 

7.   Гомоюнов М.И. Об уравнении Гамильтона — Якоби для дифференциальных игр в системах с дробными производными Капуто // Междунар. конф. “Устойчивость, управление, дифференциальные игры (SCDG2019)”, посвящен. 95-летию со дня рождения акад. Н.Н. Красовского (Екатеринбург, 16–20 сентября 2019 г.): материалы. С. 95–99.

8.   Самко С.Г., Килбас А.А., Маричев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.

9.   Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and applications of fractional differential equations. N Y: Elsevier, 2006. 540 p. ISBN: 0444518320 .

10.   Diethelm K. The analysis of fractional differential equations. Berlin: Springer, 2010. 247 p. doi: 10.1007/978-3-642-14574-2 .

11.   Лукоянов Н.Ю., Плаксин А.Р. Стабильные функционалы динамических систем нейтрального типа // Тр. МИАН. 2019. Т. 304. С. 221–234. doi: 10.4213/tm3968 

12.   Гомоюнов М.И. К теории дифференциальных включений с дробными производными Капуто // Дифференц. уравнения. 2020. Т. 56, № 11. С. 1419–1432. doi: 10.1134/S0374064120110011 

13.   Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V. Mittag-Leffler functions, related topics and applications. Berlin: Springer, 2014. 443 p. doi: 10.1007/978-3-662-43930-2 

14.   Kim A.V. Functional differential equations. Application of i-smooth calculus. Dordrecht: Kluwer, 1999. 165 p.

15.   Зорич В.А. Математический анализ: Учебник. Ч. II. М.: Наука, 1984. 640 с.

16.   Gomoyunov M.I. Fractional derivatives of convex Lyapunov functions and control problems in fractional order systems // Frac. Calc. Appl. Anal. 2018. Vol. 21, № 5. P. 1238–1261. doi: 10.1515/fca-2018-0066 

17.   Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985. 225 с.

18.   Арутюнов А.В. Лекции по выпуклому и многозначному анализу. М.: Физматлит, 2014. 184 с.

Поступила 17.08.2020

После доработки 15.10.2020

Принята к публикации 26.10.2020

Гомоюнов Михаил Игоревич
канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет им. Б.Н. Ельцина
г. Екатеринбург
e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Ссылка на статью: М.И. Гомоюнов. Минимаксные решения однородных уравнений Гамильтона — Якоби с коинвариантными производными дробного порядка // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 4. С. 106-125

English

M.I. Gomoyunov. Minimax solutions of homogeneous Hamilton–Jacobi equations with fractional-order coinvariant derivatives

The Cauchy problem is considered for a homogeneous Hamilton–Jacobi equation with fractional-order coinvariant derivatives, which arises in problems of dynamical optimization of systems described by differential equations with Caputo fractional derivatives. A generalized solution of the problem in the minimax sense is defined. It is proved that such a solution exists, is unique, depends continuously on the parameters of the problem, and is consistent with the classical solution. An infinitesimal criterion of the minimax solution is obtained in the form of a pair of differential inequalities for suitable directional derivatives. An illustrative example is given.

Keywords: Hamilton–Jacobi equations, generalized solutions, coinvariant derivatives, fractional-order derivatives

Received August 17, 2020

Revised October 15, 2020

Accepted October 26, 2020

Funding Agency: This work was supported by RSF (project no. 19-71-00073).

Mikhail Igorevich Gomoyunov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620000 Russia, e-mail: m.i.gomoyunov@gmail.com

Cite this article as: M.I. Gomoyunov. Minimax solutions of homogeneous Hamilton–Jacobi equations with fractional-order coinvariant derivative, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki UrO RAN, 2020, vol. 26, no. 4, pp. 106–125.

[References -> on the "English" button bottom right]