К.С. Ефимов, А.А. Махнев. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {30,22,9;1,3,20} ... С. 23-31

УДК 519.17

MSC: 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-23-31

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований — ГФЕН Китая (проект 20-51-53013).

Дистанционно регулярный граф диаметра 3 называется графом Шилла, если он имеет второе собственное значение $\theta_1=a_3$. В этом случае $a=a_3$ делит $k$ и полагают $b=b(\Gamma)=k/a$. Кулен и Пак перечислили массивы пересечений дистанционно регулярных графов Шилла с $b=3$. Известно существование графов с массивами пересечений $\{12,10,5;1,1,8\}$ и $\{12,10,3;1,3,8\}$. Ранее было доказано несуществование графов Шилла с массивами персечений $\{12,10,2;1,2,8\}$, $\{27,20,10;1,2,18\}$, $\{42,30,12;1,6,28\}$ и $\{105,72,24;1,12,70\}$. В работе изучены автоморфизмы дистанционно регулярного графа $\Gamma$ с массивом пересечений $\{30,22,9;1,3,20\}$, являющегося графом Шилла с $b=3$. Пусть $a$ - вершина графа $\Gamma$, $G={\rm Aut}(\Gamma)$ - неразрешимая группа, $\bar G=G/S(G)$ и $\bar T$ - цоколь группы $\bar G$. Тогда $\bar T\cong L_2(7),A_7,A_8$ или $U_3(5)$. Если $\Gamma$ есть реберно-симметричным графом, то группа $T$ - расширение неприводимого $F_2U_3(5)$-модуля $V$ с помощью $U_3(5)$, размерность $V$ над $F_2$ равна $20$, $28$, $56$, $104$ или $288$.
        
Ключевые слова: граф Шилла, автоморфизм графа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Brouwer A. E., Cohen A. M., Neumaier A. Distance-regular graphs. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1989. 495 p.

2.   Koolen J.H., Park J. Shilla distance-regular graphs // Europ. J. Comb. 2010. Vol. 31,no. 8. P. 2064–2073. doi: 10.1016/j.ejc.2010.05.012 

3.   Brouwer A. E., Sumaloj S., Worawannotai C. The nonexistence of distance-regular graphs with intersection arrays {27,20,10;1,2,18} and {36,28,4;1,2,24} // Australasian J. Comb. 2016. Vol. 66, no. 2. P. 330–332.

4.   Белоусов И.Н., Махнев А.А. Дистанционно регулярные графы с массивами пересечений {42,30,12;1,6,28} и {60,45,8;1,12,50} не существуют // Сиб. электрон. матем. изв. 2018. Vol. 15. С. 1506–1512.

5.   Белоусов И.Н., Махнев А.А. Дистанционно регулярный граф с массивом пересечений {105,72,24;1,12,70} не существует // Сиб. электрон. мат. изв. 2019. Vol. 16. P. 206–216.

6.   Cameron P. J. Permutation groups. London: Cambridge Univ. Press, 1999. 220 p.

7.   Zavarnitsine A. V. Finite simple groups with narrow prime spectrum // Sib. Elektron. Mat. Izv. 2009. Vol. 6. P. 1–12.

8.   Atlas of finite groups / J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker, R. A. Wilson. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p .

Поступила 2.03.2020

После доработки 26.05.2020

Принята к публикации 15.06.2020

Ефимов Константин Сергеевич
доцент
Уральский государственный экономический университет
г. Екатеринбург
e-mail: konstantin.s.efimov@gmail.com

Махнев Александр Алексеевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Ссылка на статью: К.С. Ефимов, А.А. Махнев. Автоморфизмы дистанционно регулярного графа с массивом пересечений {30,22,9;1,3,20} // Тр.Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 3. С. 23-31

English

K.S. Efimov, A.A. Makhnev. Automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {30,22,9;1,3,20}

A distance-regular graph $\Gamma$ of diameter 3 is called a Shilla graph if it has the second eigenvalue $\theta_1=a_3$. In this case $a=a_3$ divides $k$ and we set $b=b(\Gamma)=k/a$. Koolen and Park obtained the list of intersection arrays for Shilla graphs with $b=3$. There exist graphs with intersection arrays $\{12,10,5;1,1,8\}$ and $\{12,10,3;1,3,8\}$. The nonexistence of graphs with intersection arrays $\{12,10,2;1,2,8\}$, $\{27,20,10;1,2,18\}$, $\{42,30,12;1,6,28\}$, and $\{105,72,24;1,12,70\}$ was proved earlier. In this paper we study the automorphisms of a distance-regular graph $\Gamma$ with intersection array $\{30,22,9;1,3,20\}$, which is a Shilla graph with $b=3$. Assume that $a$ is a vertex of $\Gamma$, $G={\rm Aut}(\Gamma)$ is a nonsolvable group, $\bar G=G/S(G)$, and $\bar T$ is the socle of $\bar G$. Then $\bar T\cong L_2(7),A_7,A_8,$ or $U_3(5)$. If $\Gamma$ is arc-transitive, then $T$ is an extension of an irreducible $F_2U_3(5)$-module $V$ by $U_3(5)$ and the dimension of $V$ over $F_3$ is 20, 28, 56, 104, or 288.

Keywords: Shilla graph, graph automorphism

Received March 2, 2020

Revised May 26, 2020

Accepted June 15, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research – the National Natural Science Foundation of China (project no. 20-51-53013_a).

Konstantin Sergeevich Efimov, Cand. Sci. (Phys.-Math.),  Ural State University of Economics, Yekaterinburg, 620144 Russia, e-mail: konstantin.s.efimov@gmail.com

Aleksandr Alekseevich Makhnev, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Cite this article as: K.S. Efimov, A.A. Makhnev. Automorphisms of a distance-regular graph with intersection array {30,22,9;1,3,20}, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 23–31.

[References -> on the "English" button bottom right]