В.И. Зенков. О пронормальности вторых максимальных подгрупп в конечных группах с цоколем $L_2(q)$ ... С. 32-43

УДК 512.542

MSC: 20D06, 20D30, 20E28

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-32-43

Работа выполнена при финансовой поддержке проекта повышения конкурентоспособности ведущих университетов России (соглашение 02.А03.210006 от 27.08.2013).

Согласно Ф. Холлу подгруппа $H$ конечной группы $G$ называется пронормальной в $G$, если для любого элемента $g$ из $G$ подгруппы $H$ и $H^g$ сопряжены в $\langle H,H^g\rangle$. Простейшими примерами пронормальных подгрупп конечных групп служат нормальные подгруппы, максимальные подгруппы, силовские подгруппы. Пронормальные подгруппы конечных групп исследовались рядом авторов. Так, Леговини (1981) изучала конечные группы, в которых каждая подгруппа субнормальна или пронормальна. Позднее Ли и Чжан (2013) описали строение конечной группы $G$, в которой для второй максимальной подгруппы $H$ ее индекс в  $\langle H,H^g\rangle$ не содержит квадратов для любого элемента $g$ из $G$. В целом  ряде работ Е.П. Вдовина, А.С. Кондратьева, Н.В. Масловой и Д.О. Ревина (2012-2019) рассматривались пронормальности подгрупп в конечной простой неабелевой группе и, в частности, существование в конечной простой неабелевой группе непронормальной подгруппы нечетного индекса. Автор поставил вопрос 19.109 в "Коуровской тетради" о равносильности в конечной простой неабелевой группе условия пронормальности ее вторых максимальных подгрупп и условия холловости ее максимальных подгрупп. В.Н. Тютяновым был указан контрпример $L_2(2^{11})$ к зтому вопросу. В данной работе даются необходимые и достаточные условия пронормальности вторых максимальных подгрупп в группе $L_2(q)$. Кроме того, при $q\le 11$ определены конечные почти простые группы с цоколем $L_2(q)$, в которых все вторые максимальные подгруппы пронормальны.

Ключевые слова: конечная группа, простая группа, максимальная подгруппа, пронормальная подгруппа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Legovini P. Gruppi finiti i cui sottogruppi sono o subnormali o pronormali // Rend. Sem. Math. Univ. Padova. 1981. Vol. 65. P. 47–51.

2.   Ли С., Чжан С. Об индексах подгрупп в соединении их сопряженных пар // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 4. С. 826–837.

3.   Vdovin E.P., Revin D.O. Pronormality of Hall subgroups in finite simple groups // Siberian Math. J. 2012. Vol. 53, no 3. С. 419–430.

4.   Kondrat’ev A.S., Maslova N.V., Revin D.O. On the pronormality of subgroups of odd index in finite simple groups // Siberian Math. J. 2015. Vol. 56, no. 6. P. 1101–1107.

5.   Kondrat’ev A.S., Maslova N.V., Revin D.O. A pronormality criterion for supplements to abelian normal subgroups // Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.) 2017. Vol. 296, Suppl. 1. P. 145–150.

6.   Unsolved problems in group theory. The Kourovka notebook. No. 19 / eds. Evgeny Khukhro and Victor Mazurov [e-resource].  Novosibirsk, 2020. 250 p.  URL: http://kourovka-notebook.org 

7.   Dickson L.E. Linear Group: with an exposition of the Galois field theory. Teubner: Leipzig, 1901 (New York: Dover Publ., Inc. 1958).

8.   Huppert B. Endliche Gruppen I. Berlin; Heidefferg; N Y: Springer-Verlag, 1967.793 p.

9.   Giudici M. Maximal subgroups of almost simple groups with socle $PSL(2,q)$ [e-resource]. 2007. 11 p. URL: http://arxiv.org/abs/math/0703685 

10.   Bray J.N. [at al.] The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: University Press, 2013. 435 p. doi: 10.1017/CBO9781139192576 

11.   Conway J.H. [et. al.] Atlas of finite group. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

12.   Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1986. 274 p.

Поступила 29.10.2019

После доработки 11.07.2020

Принята к публикации 3.08.2020

Зенков Виктор Иванович
д-р физ.-мат. наук, ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: v1i9z52@mail.ru

Ссылка на статью: В.И. Зенков. О пронормальности вторых максимальных подгрупп  в конечных группах с цоколем $L_2(q)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 3. С. 32-43

English

V.I. Zenkov. On pronormality of second maximal subgroups in finite groups with socle $L_2(q)$

According to Ph. Hall, a subgroup $H$ of a finite group $G$ is called pronormal in $G$ if, for any element $g$ of $G$, the subgroups $H$ and $H^g$ are conjugate in $\langle H,H^g\rangle$. The simplest examples of pronormal subgroups of finite groups are normal subgroups, maximal subgroups, and Sylow subgroups. Pronormal subgroups of finite groups were studied by a number of authors. For example, Legovini (1981) studied finite groups in which every subgroup is subnormal or pronormal. Later, Li and Zhang (2013) described the structure of a finite group $G$ in which, for a second maximal subgroup $H$, its index in $\langle H,H^g\rangle$ does not contain squares for any $g$ from $G$. A number of papers by Kondrat'ev, Maslova, Revin, and Vdovin (2012-2019) are devoted to studying the pronormality of subgroups in a finite simple nonabelian group and, in particular, the existence of a nonpronormal subgroup of odd index in a finite simple nonabelian group. In the Kourovka Notebook, the author formulated Question 19.109 on the equivalence in a finite simple nonabelian group of the condition of pronormality of its second maximal subgroups and the condition of Hallness of its maximal subgroups. Tyutyanov gave a counterexample $L_2(2^{11})$ to this question. In the present paper, we provide necessary and sufficient conditions for the pronormality of the second maximal subgroups in the group $L_2(q)$. In addition, for $q\le 11$, we find the finite almost simple groups with socle $L_2(q)$ in which all second maximal subgroups are pronormal.

Keywords: finite group, simple group, maximal subgroup, pronormal subgroup

Received October 29, 2019

Revised July 11, 2020

Accepted August 3, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Victor Ivanovich Zenkov, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108, Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: v1i9z52@mail.ru

Cite this articlr as: V.I. Zenkov. On pronormality of second maximal subgroups in finite groups with socle $L_2(q)$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 32–43.

[References -> on the "English" button bottom right]