И.Н. Белоусов, А.А. Махнев. Обратные задачи в классе Q-полиномиальных графов ... С. 14-22

УДК 519.17

MSC: 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-14-22

Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований (проект 20-51-53013 ГФЕН_а).

В классе дистанционно регулярных графов $\Gamma$ диаметра 3 с псевдогеометрическим графом $\Gamma_3$ для частичной геометрии допустимые массивы пересечений были найдены для сетей - А.А. Махневым, М.П. Голубятниковым и Го Вэнь-бинем, для двойственных сетей - И.Н. Белоусовым и А.А. Махневым, для обобщенных четырехугольников - А.А. Махневым и М.С. Нировой. В этих работах найдены четыре бесконечные серии допустимых массивов пересечений дистанционно регулярных графов:
$$\big\{c_2(u^2-m^2)+2c_2m-c_2-1,c_2(u^2-m^2),\ (c_2-1)(u^2-m^2)+2c_2m-c_2;1,c_2,u^2-m^2\big\},$$ $$\{mt,(t+1)(m-1),t+1;1,1,(m-1)t\}\ \ \text{при}\ \  m\le t,$$ $$\{lt,(t-1)(l-1),t+1;1,t-1,(l-1)t\}\ \ \text{и}\ \   \{a(p+1),ap,a+1;1,a,ap\}.$$ В данной статье найдены все допустимые массивы пересечений $Q$-полиномиальных графов из этих серий.  В частности, показано,  что среди этих бесконечных семейств допустимых массивов только два массива - $\{7,6,5;1,2,3\}$ (свернутый 7-куб) и $\{191,156,153;1,4,39\}$ - отвечают $Q$-полиномиальным графам.

Ключевые слова: дистанционно регулярный граф, $Q$-полиномиальный граф, граф $\Gamma$ с сильно регулярным графом $\Gamma_3$

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Bang S., Koolen J. Distance-regular graphs of diameter 3 having eigenvalue -1 // Linear Algebra and Appl. 2017. Vol. 531. P. 38–53. doi: 10.1016/j.laa.2017.05.038 

2.   Iqbal Q., Koolen J., Park J., Rehman M. Distance-regular graphs with diameter 3 and eigenvalue $a_2-c_3$ // Linear Algebra and Appl. 2020. Vol. 587. P. 271–290. doi: 10.1016/j.laa.2019.10.021 

3.   Makhnev A.A., Golubyatnikov M.P., Guo Wenbin Inverse problems in distance-regular graphs: nets // Communications in Mathematics and Statistics. 2019. Vol. 7, no 1. P. 69–83.

4.   Makhnev A.A., Nirova M.S. Inverse problems in distance-regular graphs: generalized quadrangles // Sibirean Electr. Math. Reports. 2018. Vol. 15. P. 927–934. doi: 10.17377/semi.2018.15.079 

5.   Brouwer A.E., Cohen A.M., Neumaier A. Distance-Regular Graphs. Berlin; Heidelberg; N Y: Springer-Verlag, 1989. 495 p.

6.   Terwilliger P. A new unequality for distance-regular graphs // Discrete Math. 1995. Vol. 137. P. 319–332. doi: 10.1016/0012-365X(93)E0170-9 

7.   Jurisic A., Vidali J., Extremal 1-codes in distance-regular graphs of diameter 3 // Des. Codes Cryptogr. 2012. Vol. 65. P. 29–47. doi: 10.1007/s10623-012-9651-0 

Поступила 22.05.2020

После доработки 17.06.2020

Принята к публикации 13.07.2020

Белоусов Иван Николаевич
канд. физ.-мат. наук
зав. отд., старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: i_belousov@mail.ru

Махнев Александр Алексеевич
д-р физ.-мат. наук, чл.-корр. РАН
профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Ссылка на статью: И.Н. Белоусов, А.А. Махнев. Обратные задачи в классе Q-полиномиальных графов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 3. С. 14-22

English

I.N. Belousov, A.A. Makhnev. Inverse problems in the class of Q-polynomial graphs

In the class of distance-regular graphs $\Gamma$ of diameter 3 with a pseudogeometric graph $\Gamma_3$, feasible intersection arrays for the partial geometry were found for networks by Makhnev, Golubyatnikov, and Guo; for dual networks by Belousov and Makhnev; and for generalized quadrangles by Makhnev and Nirova. These authors obtained four infinite series of feasible intersection arrays of distance-regular graphs:
$$\big\{c_2(u^2-m^2)+2c_2m-c_2-1,c_2(u^2-m^2),\ (c_2-1)(u^2-m^2)+2c_2m-c_2;1,c_2,u^2-m^2\big\},$$ $$\{mt,(t+1)(m-1),t+1;1,1,(m-1)t\}\ \ \text{for}\ \  m\le t,$$ $$\{lt,(t-1)(l-1),t+1;1,t-1,(l-1)t\},\ \ \text{and}\ \   \{a(p+1),ap,a+1;1,a,ap\}.$$ We find all feasible intersection arrays of $Q$-polynomial graphs from these series. In particular, we show that, among these infinite families of feasible arrays, only two arrays ($\{7,6,5;1,2,3\}$ (folded 7-cube) and $\{191,156,153;1,4,39\}$) correspond to $Q$-polynomial graphs.

Keywords: distance-regular graph, $Q$-polynomial graph, graph $\Gamma$ with a strongly regular graph $\Gamma_3$

Received May 22, 2020

Revised June 17, 2020

Accepted July 13, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research – the National Natural Science Foundation of China (project no. 20-51-53013_a).

Ivan Nikolaevich Belousov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia,; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: i_belousov@mail.ru

Aleksandr Alekseevich Makhnev, Dr. Phys.-Math. Sci., RAS Corresponding Member, Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: makhnev@imm.uran.ru

Cite this article as: I.N. Belousov, A.A. Makhnev. Inverse problems in the class of Q-polynomial graphs, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 14–22.

[References -> on the "English" button bottom right]