В.В. Сидоров. Автоморфизмы полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$] и решеток его подалгебр ... С. 171-186

УДК 512.556

MSC: 06B05, 16S60, 54H99

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-171-186

Коммутативное полукольцо с нулем и единицей, отличное от кольца, каждый ненулевой элемент которого обратим, называется полуполем с нулем. Пусть $\mathbb{R}^{\vee}_+$ - полуполе с нулем неотрицательных действительных чисел с операциями max-сложения и умножения. Для произвольных положительных чисел $a$ и $s$ обозначим через $\psi_{a, s}$ автоморфизм полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x],$ действующий по правилу
$
\psi_{a, s}\colon a_0\vee a_1x\vee\ldots\vee a_nx^n\mapsto a_0^s\vee a_1^s(ax)\vee\ldots\vee a_n^s(ax)^n.
$
Доказано, что автоморфизмы полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ - это в точности автоморфизмы $\psi_{a, s}.$ Кольцо $C(X)$ непрерывных $\mathbb{R}$-значных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве $X,$ является алгеброй над полем $\mathbb{R}$ действительных чисел. Подалгеброй в $C(X)$ будет любое его  непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения функций и выдерживающее умножение на константы из $\mathbb{R}.$ По аналогии непустое подмножество $A\subseteq \mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ назовем подалгеброй полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x],$ если $f\vee g,$ $fg,$ $rf\in A$ для всех $f, g\in A$ и $r\in\mathbb{R}^{\vee}_+.$ Доказано, что произвольный автоморфизм решетки подалгебр полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ индуцируется некоторым автоморфизмом полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x].$ Аналогичный результат верен для решетки подалгебр с единицей полукольца $\mathbb{R}_+^{\vee}[x].$ Применяется техника однопорожденных подалгебр.

Ключевые слова: полукольцо многочленов, решетка подалгебр, автоморфизм, max-сложение

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Докл. АН СССР. 1939. Т. 22. № 1. С. 11–15.

2.   E. Hewitt. Rings of real-valued continuous functions. I // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. Vol. 64, no. 1. P. 45–99. doi: 10.1090/S0002-9947-1948-0026239-9 

3.   Вечтомов Е. М. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и хьюиттовские пространства // Мат. заметки. 1997. Т. 62. № 5. С. 687–693.

4.   Sidorov V. V. Determinability of semirings of continuous nonnegative functions with max-plus by the lattices of their subalgebras // Lobachevskii J. Math. 2019. Vol. 40. P. 90–100. doi: 10.1134/S1995080219010128 

5.   Сидоров В. В. Автоморфизмы решётки всех подалгебр полукольца многочленов от одной переменной // Фундамент. и прикл. математика. 2012. Т. 17, вып. 3. C. 85–96.

Поступила 2.05.2020

После доработки 20.05.2020

Принята к публикации 1.06.2020

Сидоров Вадим Вениаминович
канд. физ.-мат. наук, доцент
Вятский государственный университет
г. Киров
e-mail: sedoy_vadim@mail.ru

Ссылка на статью: В.В. Сидоров. Автоморфизмы полукольца многочленов $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$] и решеток его подалгебр // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 171-186

English

V.V. Sidorov. Automorphisms of the semiring of polynomials $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$  and lattices of its subalgebras

A commutative semiring with zero and unity different from a ring where each nonzero element is invertible is called a semifield with zero. Let $\mathbb{R}^{\vee}_+$ be the semifield with zero of nonnegative real numbers with operations of max-addition and multiplication. For any positive real numbers $a$ and $s$, denote by $\psi_{a,s}$ the automorphism of the semiring of polynomials $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ defined by the rule $\psi_{a, s}\colon a_0\vee a_1x\vee\ldots\vee a_nx^n\mapsto a_0^s\vee a_1^s(ax)\vee\ldots\vee a_n^s(ax)^n$. It is proved that the automorphisms of the semiring $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ are exactly the automorphisms $\psi_{a, s}$. The ring $C(X)$ of continuous $\mathbb{R}$-valued functions defined on an arbitrary topological space $X$ is an algebra over the field $\mathbb{R}$ of real numbers. A subalgebra of $C(X)$ is any nonempty subset closed under addition and multiplication of functions and under multiplication by constants from $\mathbb{R}$. Similarly, we call a nonempty subset $A\subseteq \mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ a subalgebra of $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ if $f\vee g,fg,rf\in A$ for any $f, g\in A$ and $r\in\mathbb{R}^{\vee}_+$. It is proved that an arbitrary automorphism of the lattice of subalgebras of $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ is induced by some automorphism of $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$. The same result also holds for the lattice of subalgebras with unity of the semiring $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$. The technique of one-generated subalgebras is applied.

Keywords: semiring of polynomials, lattice of subalgebras, automorphism, max-addition

Received May 2, 2020

Revised May 20, 2020

Accepted June 1, 2020

Vadim Veniaminovich Sidorov, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Vyatka State University, Kirov, 610000 Russia, e-mail: sedoy_vadim@mail.ru

Cite this article as: V.V. Sidorov. Automorphisms of the semiring of polynomials $\mathbb{R}_+^{\vee}[x]$ and lattices of its subalgebras, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 171–186.

[References -> on the "English" button bottom right]