Л.Д. Попов. К итерационным методам поиска равновесия в классической модели чистого обмена Эрроу — Дебре с мультипликативными функциями полезности его участников ... С. 154-170

УДК 519.658.4

MSC: 90C05, 90C46

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-3-154-170

Исследования поддержаны грантом РФФИ (проект 19-07-01243).

Для классических моделей обмена Эрроу — Дебре с мультипликативными функциями полезности участников предложены новые итерационные схемы настройки равновесных цен. Предлагаемые алгоритмы носят итеративный характер. Каждая их итерация отвечает одному циклу обмена. В течении его участники обмена реагируют на текущие рыночные цены и ведут обмен товарами, исходя из своих бюджетов и своих систем предпочтений. При этом все, что они могут наблюдать, это исчезновение с рынка тех или иных продуктов, переходящих в разряд дефицитных. Это заставляет участников обмена корректировать цены на них. А именно, цены, отвечающие товарам, ставшим дефицитными, вырастают на некоторую относительно постоянную величину. При этом прочие цены, в том числе и на товары, остающиеся в избытке, не меняются. В силу этого общий уровень цен на товары понемногу растет (это соответствует нормальной инфляции, которая наблюдается во всякой рыночной экономике). В ходе такого роста происходит настройка цен на понижение ажиотажного спроса на одни группы товаров и его переключение на другие группы товаров в соответствии с существующими нормами их взаимозаменяемости. Хотя прирост цен фиксирован, их общий рост от итерации к итерации ведет к тому, что уже не абсолютные, но относительные их изменения постепенно затухают, обеспечивая обобщенную сходимость итерационного процесса. В качестве сходящейся последовательности можно отслеживать так называемые нормированные цены. Представлены соответствующие теоремы сходимости и результаты численных экспериментов, в том числе для других типов экономик, вплоть до самых экстравагантных.

Ключевые слова: экономическое равновесие, модель обмена, мультипликативная функция полезности, методы покоординатного спуска

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Walras L. Elements d’economie politique pure. Lausanne: Corbaz, 1874. 407 p.

2.   Samuelson P. A. The stability of equilibrium: comparative statics and dynamics // Econometrica. 1941. Vol. 9, no. 2. P. 97–120. doi: 10.2307/1906872 

3.   Arrow K. J., Debreu G. Existence of equilibrium for a competitive economy // Econometrica. 1954. Vol. 25. P. 265–290. doi: 10.2307/1907353 

4.   Arrow K. J., Hurwicz L. On the stability of the competitive equilibrium // Econometrica. 1958. Vol. 26, no. 4. P. 522–552. doi: 10.2307/1907515 

5.   Uzawa H. Walras’ tatonnenment in the theory of exchange // Review of Economic Studies. 1960. Vol. 27, no. 3. P. 182–194. doi: 10.2307/2296080 

6.   Карлин С. Математические методы в теории игр, программировании и экономике. Москва: Мир, 1964. 835 с.

7.   Arrow K. J., Hahn F. H. General competitive analysis. Amsterdam: North-Holland, 1971. 452 p.

8.   Никайдо Х. Выпуклые структуры и математическая экономика. Москва: Мир, 1972. 519 с.

9.   Shafer W. J., Sonnenschein H. F. Some theorems on the existence of competitive equilibrium // J. Econ. Theory. 1975. Vol. 11, no. 1. P. 83–93. doi: 10.1016/0022-0531(75)90040-X 

10.   Eaves B. C. Finite solution of pure trade markets with Cobb — Douglas utilities // Economic Equilibrium: Model Formulation and Solution / ed. A.S. Manne. Berlin; Heidelberg: Springer, 1985. doi: 10.1007/BFb0121035 . P. 226–239. (Math. Program. Study; vol.23).

11.   Scarf H. Some examples of global instability of the competitive equilibrium // Internat. Econom. Rev. 1960. Vol. 1, no. 3. P. 157–172. doi: 10.2307/2556215 

12.   Bala V., Majumdar M. Chaotic tatonnement // Econ. Theory. 1992. Vol. 2, no. 4. P. 437–445. doi: 10.1007/BF01212469 

13.   Mukherji A. A simple example of complex dynamics // Econ. Theory. 1999. Vol. 14, no. 3. P. 741–749. doi: 10.1007/s001990050353 

14.   Tuinstra J. A discrete and symmetric price adjustment process on the simplex // J. Econ. Dynamics and Control. 2000. Vol. 24, no. 5–7. P. 881–907. doi: 10.1016/S0165-1889(99)00029-9 

15.   Антипин А. С. Экстрапроксимальный подход к вычислению равновесий в моделях чистого обмена // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2006. Т. 46, № 10. С. 1771–1783.

16.   Cole R., Fleischer I. Fast-converging tatonnement algorithms for one-time and ongoing market problems // Proc. of the Fortieth Annual ACM Symposium on Theory of Computing (STOC’08). N Y: ACM, 2008. P. 315–324. doi: 10.1145/1374376.1374422 

17.   Kitti M. Convergence of iterative tatonnement without price normalization // J. Econ. Dynamics and Control. 2010. Vol. 34, no. 6. P. 1077–1091. doi: 10.1016/j.jedc.2010.01.011 

18.   Shikhman V., Nesterov Yu., Ginsburg V. Power method tatonnements for Cobb – Douglas economies // J. Math. Econ. 2018. Vol. 75. P. 84–92. doi: 10.1016/J.JMATECO.2017.12.010 

Поступила 16.03.2020

После доработки 20.04.2020

Принята к публикации 18.05.2020

Попов Леонид Денисович
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН;
профессор, Институт математики и компьютерных наук
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: popld@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Л.Д. Попов. К итерационным методам поиска равновесия в классической модели чистого обмена Эрроу — Дебре с мультипликативными функциями полезности его участников // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 3. С. 154-170

English

L.D. Popov. On iterative methods of finding the equilibrium in the Arrow–Debreu classical model of pure exchange with multiplicative utility functions of the participants

For the classical Arrow–Debreu exchange models with multiplicative utility functions of the participants, new iterative schemes for setting the equilibrium prices are proposed. Each iteration of the new algorithms corresponds to one exchange cycle. During each cycle, the participants respond to current market prices and exchange goods based on their budgets and their preference systems. The only observations available to the participants are the disappearance from the market of certain products that pass into the category of scarce ones. This forces the exchange participants to adjust the prices for such goods. Namely, the prices corresponding to the goods that have become scarce grow by some relatively constant value. At the same time, other prices, including the prices of commodities remaining in excess, do not change. Because of this, the total level of prices gradually increases (which corresponds to the normal inflation observed in any market economy). The growth of prices forces a reduction in the excessive demand for scarce goods and its switching to other product groups, in accordance with the existing norms of their interchangeability. Although the growth of prices is fixed, their overall growth from iteration to iteration leads to the fact that not absolute but relative changes gradually fade, providing a generalized convergence of the iterative process. As a convergent sequence, it is possible to track the so-called normalized prices. The corresponding convergence theorems and results of numerical experiments are presented, including cases of other types of economies, up to the most extravagant.

Keywords: economic equilibrium, exchange model, multiplicative utility function, coordinate descent methods

Received March 16, 2020

Revised April 20, 2020

Accepted May 18, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 19-07-01243).

Leonid Denisovich Popov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: popld@imm.uran.ru

Cite this article as: L.D. Popov. On iterative methods of finding the equilibrium in the Arrow–Debreu classical model of pure exchange with multiplicative utility functions of the participants, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 3, pp. 154–170.

[References -> on the "English" button bottom right]