Т.С. Бусел, И.Д. Супруненко. О свойствах неприводимых представлений специальных линейных и симплектических групп, небольших относительно характеристики поля и регулярного унипотентного элемента из подсистемной подгруппы ... С. 88-97

УДК 521.554.32

MSC: 20G05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-88-97

Работа поддержана Белорусским республиканским фондом фундаментальных исследований (проект № Ф19-024).

В работе изучаются свойства неприводимых  представлений специальной линейной и симплектической групп, небольших относительно характеристики поля и регулярных унипотентных элементов непростого порядка из подсистемных подгрупп типов $A_l$ и $C_l$ соответственно с определенными условиями на $l$. Пусть  $K$ - алгебраически замкнутое поле характеристики $p>2$, $G=A_r(K)$ или $C_r(K)$, $l<r-1$ при $G=A_r(K)$ и $l<r$ при $G=C_r(K)$, $H\subset G$ - подсистемная подгруппа с двумя простыми компонентами $H_1$ и $H_2$ типов $A_l$ и $A_{l-r-1}$ или $C_l$ и $C_{r-l}$ соответственно, $x$ - регулярный унипотентный элемент из $H_1$. Предположим, что $l+1=ap^s+b$ при $G=A_r(K)$ и $2l=ap^s+b$ при $G=C_r(K)$, где $a<p$, $p\leq b\leq p^s$, $s>1$. Назовем неприводимое  представление $\varphi$ группы $G$  $(p,x)$-специальным, если все веса ограничения представления $\varphi$ на хорошую $A_1$-подгруппу, содержащую $x^{p^s}$, меньше $p$ (здесь множество весов группы типа $A_1$ канонически отождествляется с множеством целых чисел). Обозначим символом $d_{\rho}(z)$ минимальный многочлен образа элемента $z$ в представлении $\rho$ и назовем композиционный фактор $\psi$ ограничения представления $\varphi$ на $H$ большим относительно элемента $z\in H$, если $d_{\psi}(z)=d_{\varphi}(z)$. Основные результаты статьи - теоремы 1 и  2.

Теорема 1.
Пусть  $\varphi$ - $(p,x)$-специальное представление группы $G$. Тогда ограничение $\varphi$ на $H$ не имеет композиционных факторов, больших относительно $x$ и нетривиальных для $H_2$.

Теорема 2.
В условиях теоремы 1 число блоков Жордана максимальной размерности у элемента $\varphi(x)$ не превосходит некоторого числа, которое зависит только от $p$, $b$ и коэффициентов старшего веса и не зависит от ранга группы.

В статье показано, почему изучаемый здесь случай целесообразно рассматривать отдельно. Так, для $p$-ограниченных представлений соответствующих групп с большими относительно характеристики старшими весами справедливы утверждения, противоположные теоремам 1 и 2. Результаты о блочной структуре образов унипотентных элементов в представлениях алгебраических групп могут быть использованы для решения задач распознавания представлений и линейных групп по наличию матриц определенного вида.

Ключевые слова: унипотентные элементы, размерности блоков Жордана, специальная линейная группа, симплектическая группа

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. IV-VI. М.: Мир, 1972. 334 с.

2.   Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли, гл. VII-VIII. М.: Мир, 1978. 342 с.

3.   Стейнберг Р. Лекции о группах Шевалле. М.: Мир, 1975. 263 с.

4.   Супруненко И.Д.Минимальные полиномы элементов порядка p в неприводимых представлениях групп Шевалле над полями характеристики p // Тр. Ин-та математики СО РАН. Вопросы алгебры и логики. Новосибирск, 1996. Т. 30. С. 126–163.

5.   Andersen H.H., Jorgensen J., Landrock P. The projective indecomposable modules of $SL(2,p^n)$ // Proc. London Math. Soc. 1983. Vol. 46. P. 38–52. doi: 10.1112/plms/s3-46.1.38 

6.   Jantzen J.C. Darstellungen halbeinfacher algebraicher Gruppen und zugeordnete kontravariante Formen // Bonner math. Schr. 1973. Vol. 67.

7.   Jantzen J.C. Representations of algebraic groups. Second ed. 2003. 576 p. (Math. Surveys and Monographs; vol. 107).

8.   Liebeck M.W., Seitz G.M. Unipotent and nilpotent classes in simple algebraic groups and Lie algebras. Providence: American Math. Soc., 2012. 380p. (Math. Surveys and Monographs; 180). doi: 10.1090/surv/180 

9.   Korhonen M. Jordan blocks of unipotent elements in some irreducible representations of classical groups in good characteristic // Proc. Amer. Math. Soc. 2019. Vol. 147. P. 4205–4219. doi: 10.1090/proc/14570 

10.   Seitz G.M. Unipotent elements, tilting modules, and saturation // Invent. Math. 2000. Vol. 141, no. 3. P. 467–502. doi: 10.1007/s002220000073 

11.   Smith S. Irreducible modules and parabolic subgroups // J. Algebra. 1982. Vol. 75. P. 286–289. doi: 10.1016/0021-8693(82)90076-x 

12.   Suprunenko I.D. The minimal polynomials of unipotent elements in irreducible representations of the classical groups in odd characteristic // Memoirs Amer. Math. Soc.. 2009. Vol. 200, no. 939. 154 p. doi: 10.1090/memo/0939 

13.   Suprunenko I.D. Special composition factors in restrictions of representations of special linear and symplectic groups to subsystem subgroups with two simple components // Труды Института математики. 2018. Т. 26, № 1. С. 115–133.

14.   Suprunenko I.D., Zalesskii A.E. On restricting representations of simple algebraic groups to semisimple subgroups with two simple components // Труды Института математики. 2005. Т. 13, № 2. С. 109–115.

15.   Testerman D., Zalesski A.E. Irreducible representations of simple algebraic groups in which a unipotent element is represented by a matrix with a single non-trivial Jordan block // J. Group Theory. 2018. Vol. 21. P. 1–20. doi: 10.1515/jgth-2017-0019 

Поступила 10.04.2020

После доработки 8.05.2020

Принята к публикации 18.05.2020

Бусел Татьяна Сергеевна
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси, г. Минск
e-mail: tbusel@gmail.com

Супруненко Ирина Дмитриевна
д-р. физ.-мат. наук, главный науч. сотрудник
Институт математики НАН Беларуси, г. Минск
e-mail: suprunenko@im.bas-net.by

Ссылка на статью: Т.С. Бусел, И.Д. Супруненко. О свойствах неприводимых представлений специальных линейных и симплектических групп, небольших относительно характеристики поля и регулярного унипотентного элемента из  подсистемной подгруппы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 2. С. 88-97

English

T.S. Busel, I.D. Suprunenko. On the properties of irreducible representations of special linear and symplectic groups that are not large with respect to the field characteristic and regular unipotent elements from subsystem subgroups

We study the properties of irreducible representations of special linear and symplectic groups that are not large with respect to the ground field characteristic and regular unipotent elements of nonprime order from subsystem subgroups of types $A_l$ and $C_l$, respectively, with certain conditions on $l$. Assume that $K$ is an algebraically closed field of characteristic $p>2$, $G=A_r(K)$ or $C_r(K)$, $l<r-1$ for $G=A_r(K)$ and $l<r$ for $G=C_r(K)$, $H\subset G$ is a subsystem subgroup with two simple components $H_1$ and $H_2$ of types $A_l$ and $A_{l-r-1}$ or $C_l$ and $C_{r-l}$, respectively, and $x$ is a regular unipotent element from $H_1$. Suppose that $l+1=ap^s+b$ for $G=A_r(K)$ and $2l=ap^s+b$ for $G=C_r(K)$ where $a<p$, $p\leq b\leq p^s$, and $s>1$. An irreducible representation $\varphi$ of $G$ is said to be $(p,x)$-special if all the weights of the restriction of $\varphi$ to a nice $A_1$-subgroup containing $x^{p^s}$ are less than~$p$ (here the set of weights of a group of type $A_1$ is canonically identified with the set of integers). Denote by $d_{\rho}(z)$ the minimal polynomial of the image of an element $z$ in a representation $\rho$ and call the composition factor $\psi$ of the restriction of $\varphi$ to $H$ large for $z\in H$ if $d_{\psi}(z)=d_{\varphi}(z)$. The main results of the paper are Theorems 1 and 2.

Theorem 1.  Let $\varphi$ be a $(p,x)$-special representation of $G$. Then the restriction of $\varphi$ to $H$ has no composition factors that are large for $x$ and nontrivial for $H_2$.

Theorem 2. Under the assumptions of Theorem 1, the number of maximum size Jordan blocks of the element $\varphi(x)$ does not exceed a certain integer which depends only upon $p$, $b$, and the coefficients at the highest weight and does not depend on the group rank.

We explain why the case studied here should be considered separately. For instance, for $p$-restricted representations of the corresponding groups with large highest weights with respect to the characteristic, assertions opposite to Theorems 1 and 2 are valid. The results on the block structure of the images of unipotent elements in representations of algebraic groups can be used for solving recognition problems for representations and linear groups based of the presence of certain special matrices.

Keywords: unipotent elements, Jordan block sizes, special linear group, symplectic group

Received April 10, 2020

Revised May 8, 2020

Accepted May 18, 2020

Funding Agency: This research was supported by the Belarusian Republican Foundation for Fundamental Research (project no. F19-024).

Tatyana Sergeevna Busel, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072, Republic of Belarus, e-mail: tbusel@gmail.com

Irina Dmitrievna Suprunenko, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Belarus, Minsk, 220072, Republic of Belarus, e-mail: suprunenko@im.bas-net.by

Cite this article as: T.S. Busel, I.D. Suprunenko. On the properties of irreducible representations of special linear and symplectic groups that are not large with respect to the field characteristic and regular unipotent elements from subsystem subgroups. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 88–97.

[References -> on the "English" button bottom right]