Д.А. Ваулин, Д А. Дроздов, А.В. Тетенов. О связных компонентах фрактальных кубов ... С. 98-107

УДК 514.8+515.2

MSC: 28A80

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-98-107

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00420).

В статье показывается существенное отличие фрактальных кубов от фрактальных квадратов. В основе топологической классификации фрактальных квадратов, полученной в 2013 г. К.-С. Лау с соавторами, лежит рассмотрение свойств $\mathbb{Z}^2$-периодического расширения $H=F+\mathbb{Z}^2$ и его дополнения $H^c=\mathbb{R}^2\setminus H$. Фрактальный квадрат $F\subset\mathbb{R}^2$ содержит отличную от отрезка или точки связную компоненту тогда и только тогда, когда $H^c$ содержит ограниченную связную компоненту. Мы показываем, что существует фрактальный куб  $F$ в $\mathbb R^3$,  для которого множество $H^c$ связно, а  множество $Q$ связных компонент $K_\alpha$ куба $F$ обладает следующими свойствами: $Q$ - вполне несвязное самоподобное подмножество гиперпространства $C(\mathbb R^3)$, билипшицево изоморфное канторову множеству $C_{1/5}$; все множества $K_\alpha+\mathbb{Z}^3$ связны и попарно не пересекаются; множество значений хаусдорфовых размерностей $\dim_H(K_\alpha)$ совпадает с некоторым промежутком  $[a,b]$.

Ключевые слова: фрактальный квадрат, фрактальный куб, суперфрактал, самоподобное множество, гиперпространство, хаусдорфова размерность

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Barnsley M.F., Hutchinson J.E., Stenflo O. V -variable fractals: Fractals with partial self similarity // Adv. Math. 2008. Vol. 218, no. 6. P. 2051-2088. doi:10.1016/j.aim.2008.04.011 

2.   Bonk M., Merenkov S. Quasisymmetric rigidity of square Sierpinski carpets// Annals Math. 2013. Vol. 177. P. 591—643. doi:10.4007/annals.2013.177.2.5 

3.   Cristea L.L., Steinsky B. Curves of infinite length in 4×4-labyrinth fractals // Geom. Dedicata. 2009. Vol. 141. P. 1–17. doi: /10.1007/s10711-008-9340-3 

4.   Cristea L.L., Steinsky B., Curves of infinite length in labyrinth fractals // Proc. Edinb. Math. Soc. II. Ser. 2011. Vol. 54, no. 2. P. 329–344. doi: 10.1017/S0013091509000169 

5.   Falconer K.J. Fractal geometry: mathematical foundations and applications. N Y: J. Wiley and Sons, 1990. 288 p. ISBN: 0471922870 .

6.   Hutchinson J. Fractals and self-similarity // Indiana Univ. Math. J. 1981. Vol. 30, no. 5. P. 713–747. doi: 10.1512/iumj.1981.30.30055 

7.   Lau K.S., Luo J.J., Rao H. Topological structure of fractal squares // Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2013. Vol. 155. P. 73–86. doi: 10.1017/S0305004112000692 

8.   Luo J.J., Liu J.-C. On the classification of fractal squares // Fractals. 2016. Vol. 24, no. 1. Art.-no. 1650008. doi: 10.1142/S0218348X16500080 

9.   Ruan H.J., Wang Y. Topological invariants and Lipschitz equivalence of fractal squares // J. Math. Anal. Appl. 2017. Vol. 451. P. 327–344. doi: 10.1016/j.jmaa.2017.02.012 

10.   Tetenov A.V. Finiteness properties for self-similar sets: [e-resource]. arXiv:2003.04202 [math.MG]. 12 p.

11.   Tetenov A.V., Drozdov D.A. On the connected components of fractal cubes: [e-resource]. arXiv:2002.02920 [math.MG]. 6 p.

Поступила 6.04.2020

После доработки 20.04.2020

Принята к публикации 11.05.2020

Ваулин Дмитрий Алексеевич
старший преподаватель кафедры математики, физики и информатики
Горно-Алтайского государственного университета
e-mail: d_warrant@mail.ru

Дроздов Дмитрий Алексеевич
магистрант Горно-Алтайского государственного университета
e-mail: dimalek97@yandex.ru

Тетенов Андрей Викторович
д-р физ.-мат. наук, доцент
профессор кафедры математики, физики и информатики
Горно-Алтайского государственного университет
г. Горно-Алтайск;
профессор кафедры теории функций
Новосибирский государственный университет
г. Новосибирск
e-mail: atet@mail.ru

Ссылка на статью: Д.А. Ваулин, Д А. Дроздов, А.В. Тетенов. О связных компонентах фрактальных кубов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. С. 98-107

English

D.A. Vaulin, D.A. Drozdov, A.V. Tetenov. On connected components of fractal cubes

The paper shows an essential difference between fractal squares and fractal cubes. The topological classification of fractal squares proposed in 2013 by K.-S. Lau et al was based on analyzing the properties of the $\mathbb{Z}^2$-periodic extension $H=F+\mathbb{Z}^2$ of a fractal square $F$ and of its complement $H^c=\mathbb{R}^2\setminus H$. A fractal square $F\subset\mathbb{R}^2$ contains a connected component different from a line segment or a point if and only if the set $H^c$ contains a bounded connected component. We show the existence of a fractal cube $F$ in $\mathbb R^3$ for which the set $H^c=\mathbb{R}^3\setminus H$ is connected whereas the set $Q$ of connected components $K_\alpha$ of $F$ possesses the following properties: $Q$ is a totally disconnected self-similar subset of the hyperspace $C(\mathbb R^3)$, it is bi-Lipschitz isomorphic to the Cantor set $C_{1/5}$, all the sets $K_\alpha+\mathbb{Z}^3$ are connected and pairwise disjoint, and the Hausdorff dimensions $\dim_H(K_\alpha)$ of the components $K_\alpha$ assume all values from some closed interval $[a,b]$.

Keywords: fractal square, fractal cube, superfractal, self-similar set, hyperspace, Hausdorff dimension

Received April 6, 2020

Revised April 20, 2020

Accepted May 11, 2020

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00420).

Dmitrii Alekseevich Vaulin, Gorno-Altaisk State University, Gorno-Altaisk, 649000 Russia, e-mail: d_warrant@mail.ru

Dmitry Alekseevich Drozdov, Gorno-Altaisk State University, Gorno-Altaisk, 649000 Russia, e-mail: dimalek97@yandex.ru

Andrei Viktorovich Tetenov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Gorno-Altaisk State University, Gorno-Altaisk, 649000 Russia, Novosibirsk State University, Novosibirsk, 630090 Russia, e-mail: atet@mail.ru

Cite this article as: D.A. Vaulin, D.A. Drozdov, A.V. Tetenov. On connected components of fractal cubes. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 98–107.

[References -> on the "English" button bottom right]