Н.В. Бурмашева, Е.Ю. Просвиряков. Точное решение уравнений Навье — Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости ... С. 79-87

УДК 517.9, 51-72

MSC: 35N10, 76D05, 76D17, 76U05

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-2-79-87

Изучается переопределенная система, состоящая из уравнений Навье - Стокса и уравнения несжимаемости. Система уравнений описывает установившиеся сдвиговые пространственно неоднородные течения вязкой несжимаемой жидкости. Нетривиальное точное решение рассматриваемой системы определяется в классе Линя - Сидорова - Аристова. Получено условие разрешимости системы для поля скоростей следующего вида:
$$V_x=U\left(z\right)+u_1\left(z\right)x+u_2\left(z\right)y, \quad V_y=V\left(z\right)+v_1\left(z\right)x+v_2\left(z\right)y, \quad V_z=0.$$
При исследовании точного решения было уставлено, что разрешимость системы уравнений возможна при алгебраической связи горизонтальных градиентов (пространственных ускорений) скоростей $u_1, u_2, v_1, v_2$ с компонентами давления $P_{11}, P_{12}, P_{22}$. Давление является квадратичной формой относительно координат $x$ и $y$. Установлено, что компоненты давления и пространственные ускорения являются постоянными величинами. В этом случае в зависимости от значений параметров получено точное решение для скоростей $U$ и $V$. Полученные точные решения могут описывать неоднородное течение Куэтта - Пуазейля - Экмана.

Ключевые слова: слоистые течения, сдвиговые течения, точные решения, параметр Кориолиса, переопределенная система, условия совместности

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Аристов С.Н., Шварц К.Г. Вихревые течения адвективной природы во вращающемся слое жидкости. Пермь: ГОУ ВПО “Пермский государственный университет”, 2006. 155 с.

2.   Зырянов В.Н. Теория установившихся океанических течений. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1985. 248 с.

3.   Коротаев Г.К., Михайлова Э.Н., Шапиро Н.Б. Теория экваториальных противотечений в Мировом океане. Киев: Наук. думка, 1986. 208 с.

4.   Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Неоднородные течения Куэтта // Нелинейная динамика. 2014. Т. 10, № 2. C. 177–182. doi: 10.20537/nd1402004 

5.   Аристов С.Н., Просвиряков Е.Ю. Крупномасштабные течения завихренной вязкой несжимаемой жидкости // Изв. высших учебных заведений. Авиационная техника. 2015. Вып. 4. С. 50–54.

6.   Зубарев Н.М., Просвиряков Е.Ю. О точных решениях для слоистых трехмерных нестационарных изобарических течений вязкой несжимаемой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 2019. Т. 60, № 6(358). С. 65–71. doi: 10.15372/PMTF20190607 

7.   Berker R. Sur quelques cas d’integration des equations du mouvement d’un fluide visquex incompressible. Paris-Lille: Taffin-Lefort, 1936. 161 p.

8.   Шмыглевский Ю.Д. Об изобарических плоских течениях вязкой несжимаемой жидкости // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1985. Т. 25, № 12. С. 1895-1898.

9.   Lin C.C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Arch. Rational Mech. Anal. 1958. Vol. 1. P. 391-395.

10.   Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн// Прикл. механика и теорет. физика. 1989. № 2. C. 34–40.

11.   Аристов С.Н. Вихревые течения в тонких слоях жидкости: дис. … д-р. физ.-мат. наук / ИАПУ. Владивосток, 1990. 303 с.

12.   Privalova V.V., Prosviryakov E.Yu., Simonov M.A. Nonlinear gradient flow of a vertical vortex fluid in a thin layer // Russian J. Nonlinear Dynamics. 2019. Vol. 15, no. 3. P. 271–283.
doi: 10.20537/nd190306

13.   Бурмашева Н.В., Просвиряков Е.Ю. Термокапиллярная конвекция вертикально завихренной жидкости // Теоретические основы химической технологии. 2020. Т. 54, № 1. С. 114–124.
doi: 10.31857/S0040357119060034 

14.   Wheeler M.H. On stratified water waves with critical layers and Coriolis forces // Discrete and Continuous Dynamical Systems – A. 2019. Vol. 39, no. 8. P. 4747–4770. doi: 10.3934/dcds.2019193 

15.   Sarja A., Singh P., Ekkad S. Parallel rotation for negating Coriolis force effect on heat transfer // Aeronautical J. 2020. Vol. 124, no. 1274. P. 581–596. doi:10.1017/aer.2020.1 

16.   Fein Y.Y., Kialka F., Geyer P., Gerlich S., Arndt M. Coriolis compensation via gravity in a matter-wave interferometer // New J. Physics. 2020. Vol. 22. doi: 10.1088/1367-2630/ab73c5 

17.   Mills C. Calibrating and operating Coriolis flow meters with respect to process effects // Flow Measurement and Instrumentation. 2020. Vol. 71. doi: 10.1016/j.flowmeasinst.2019.101649 

18.   Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. 6-е. изд. Москва: Физматлит, 2006. 736 с.

19.   Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of exact solutions for ordinary differential equations. 2nd ed. Boca Raton: Chapman&Hall/CRC, 2003. 803 p.

Поступила 20.02.2020

После доработки 26.03.2020

Принята к публикации 27.04.2020

Бурмашева Наталья Владимировна
канд. техн. наук
науч. сотрудник
Институт машиноведения УрО РАН;
доцент
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: nat_burm@mail.ru

Просвиряков Евгений Юрьевич
д-р физ.-мат. наук
зав. сектором
Институт машиноведения УрО РАН;
профессор
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: evgen_pros@mail.ru

Ссылка на статью: Н.В. Бурмашева, Е.Ю. Просвиряков. Точное решение уравнений Навье — Стокса, описывающее пространственно неоднородные течения вращающейся жидкости // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т.26, № 2. С. 79-87

English

N.V. Burmasheva, E.Yu. Prosviryakov. Exact solution of Navier–Stokes equations describing spatially inhomogeneous flows of a rotating fluid

We study an overdetermined system consisting of the Navier-Stokes equations and the incompressibility equation. The system of equations describes steady spatially inhomogeneous shear flows of a viscous incompressible fluid. The nontrivial exact solution of the system under consideration is determined in the Lin-Sidorov-Aristov class. A condition for the solvability of the system for the velocity field of the form
$$V_x=U\left(z\right)+u_1\left(z\right)x+u_2\left(z\right)y, \quad V_y=V\left(z\right)+v_1\left(z\right)x+v_2\left(z\right)y, \quad V_z=0$$
is obtained. In the study of the exact solution, it is stated that the solvability of the system of equations is possible under an algebraic connection between the horizontal gradients (spatial accelerations) of the velocities $u_1, u_2, v_1, v_2$ and the pressure components $P_{11}, P_{12}, P_{22}$. Pressure is a quadratic form with respect to the coordinates $x$ and $y$. It is established that the pressure components and spatial accelerations are constant. In this case, depending on the values of the parameters, an exact solution is obtained for the velocities $U$ and $V$. The exact solutions obtained can describe the inhomogeneous Poiseuille-Couette-Ekman flow.

Keywords: layered flows, shear flows, exact solutions, Coriolis parameter, overdetermined system, compatibility conditions

Received February 20, 2020

Revised March 26, 2020

Accepted April 27, 2020

Natalya Vladimirovna Burmasheva, Cand. Eng. Sci., Institute of Engineering Sciences of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, 620049 Russia; Ural federal university, Ekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: nat_burm@mail.ru.

Evgeniy Yur’evich Prosviryakov, Dr. Phys.-Math. Sci., Institute of Engineering Sciences of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg, 620049 Russia; Ural federal university, Ekaterinburg, 620002 Russia, e-mail: evgen_pros@mail.ru.

Cite this article as: N.V. Burmasheva, E.Yu. Prosviryakov. Exact solution of Navier–Stokes equations describing spatially inhomogeneous flows of a rotating fluid. Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 2, pp. 79–87.

[References -> on the "English" button bottom right]