Е.К. Костоусова. О полиэдральном оценивании множеств достижимости в "расширенном" пространстве для многошаговых систем с неопределенными матрицами и интегральными ограничениями ... C. 141-155

УДК 517.977

MSC: 93B03, 93C10, 93C55, 93C41, 93B40

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-141-155

Рассматриваются задачи достижимости и построения оценок множеств достижимости (МД) многошаговых систем с исходно линейной структурой и неопределенностями в начальных условиях, матрицах и аддитивных воздействиях. Неопределенности стеснены заданными параллелепипедозначными, интервальными и интегральными неквадратичными ограничениями соответственно. Ввиду неопределенности в матрицах системы оказываются билинейного типа. МД рассматриваются не только в исходном  пространстве $\mathbb {R}^{n}$, но и в "расширенном" пространстве $\mathbb {R}^{n+1}$, где последняя координата $\mu$ соответствует текущему резерву аддитивного входного воздействия. Дано точное описание МД $\mathcal {Z}[k]$ в "расширенном" пространстве с помощью многозначных рекуррентных соотношений. При этом используется представление множеств в виде объединения их $\mu$-сечений, а рекуррентные соотношения включают операции с множествами, одна из которых (умножение на интервальную матрицу) действует на каждое сечение независимо, а еще одна комбинирует операции суммы Минковского и объединения по сечениям. МД $\mathcal {X}[k]$ в $\mathbb {R}^{n}$ определяются сечениями $\mathcal {Z}[k]$, соответствующими $\mu=0$. Однако вычислить точно  $\mathcal {Z}[k]$  из вышеупомянутых соотношений обычно трудно. Предлагаются способы построения параметризованных семейств внешних и внутренних полиэдральных оценок множеств $\mathcal {Z}[k]$ в виде политопов специального типа. На их основе строятся внешние параллелепипедозначные и внутренние параллелотопозначные оценки для $\mathcal {X}[k]$. Все оценки находятся по явным формулам из систем рекуррентных соотношений.

Ключевые слова: множество достижимости, интегральные ограничения, неопределенность в матрице, полиэдральные оценки, параллелепипеды, параллелотопы

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. 476 с.

2.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

3.   Kurzhanski A.B., Varaiya P. Dynamics and control of trajectory tubes: theory and computation. Basel: Birkhauser, 2014. 445 p. (Systems & Control: Foundations & Applications, Book 85). doi: 10.1007/978-3-319-10277-1 

4.   Kurzhanski A.B., Daryin A.N. Dynamic programming for impulse feedback and fast controls: The linear systems case. London: Springer, 2020. 275p. (LNCIS, vol. 468.) doi: 10.1007/978-1-4471-7437-0 

5.   Лотов А.В. Метод построения внешней полиэдральной оценки трубки траекторий нелинейной динамической системы // Докл. АН. 2017. Т. 472, №1. С. 18–22.

6.   Guseinov K.G., Ozer O., Akyar E., Ushakov V.N. The approximation of reachable sets of control systems with integral constraint on controls // Nonlinear Differential Equations and Appl. 2007. Vol. 14, iss. 1–2. P. 57–73. doi: 10.1007/s00030-006-4036-6 

7.   Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser, 1997. 321 p.

8.   Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988. 319 с.

9.   Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. Управление и оценивание состояний динамических систем с неопределенностью. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2018. 193 с.

10.   Le V.T.H., Stoica C., Alamo T., Camacho E.F., Dumur D. Zonotopes: From guaranteed state-estimation to control. Croydon: Wiley-ISTE, 2013. 150 p. doi: 10.1002/9781118761588 

11.   Sharma U., Thangavel S., Gottu Mukkula A.R., Paulen R. Effective recursive parallelotopic bounding for robust output-feedback control // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 15. P. 1032–1037. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.09.058 

12.   Dreossi T., Dang T., Piazza C. Reachability computation for polynomial dynamical systems // Formal Methods in System Design. 2017. Vol. 50, iss. 1. P. 1–38. doi: 10.1007/s10703-016-0266-3 

13.   Костоусова Е.К. О внешнем полиэдральном оценивании множеств достижимости в “расширенном” пространстве для линейных многошаговых систем с интегральными ограничениями на управление // Вычисл. технологии. 2004. Т. 9, № 5. С. 54-72.

14.   Tang W., Wang Z., Shen Y. Interval Estimation methods for discrete-time linear time-invariant systems // Systems & Control Letters. 2019. Vol. 123. P. 69-–74. doi: 10.1016/j.sysconle.2018.11.001 

15.   Filippova T.F., Matviychuk O.G. Estimates of reachable sets of control systems with bilinear-quadratic nonlinearities // Ural Math. J. 2015. Vol. 1, no. 1. P. 45–54. doi: 10.15826/umj.2015.1.004 

16.   Mazurenko S.S. Partial differential equation for evolution of star-shaped reachability domains of differential inclusions // Set-Valued Var. Anal. 2016. Vol. 24, iss. 2. P. 333–354. doi: 10.1007/s11228-015-0345-4 

17.   Синяков В.В. Метод вычисления внешних и внутренних аппроксимаций множеств достижимости билинейных дифференциальных систем // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 8. С. 1101–1114.

18.   Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости многошаговых систем с билинейной неопределенностью // Автоматика и телемеханика. 2011. № 9. С. 49–60.

19.   Kostousova E.K. State estimates of bilinear discrete-time systems with integral constraints through polyhedral techniques // IFAC-PapersOnLine. 2018. Vol. 51, iss. 32. P. 245–250. doi: 10.1016/j.ifacol.2018.11.389 

20.   Chernousko F.L., Rokityanskii D.Ya. Ellipsoidal bounds on reachable sets of dynamical systems with matrices subjected to uncertain perturbations // J. Optim. Theory Appl. 2000. Vol. 104, iss. 1. P. 1–19. doi: 10.1023/A:1004687620019 

21.   Костоусова Е.К. О полиэдральных оценках множеств достижимости дифференциальных систем с билинейной неопределенностью // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 4. С. 195–210.

Поступила 13.11.2019

После доработки 22.01.2020

Принята к публикации 27.01.2020

Костоусова Елена Кирилловна
д-р физ.-мат. наук
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: kek@imm.uran.ru

Ссылка на статью: Е.К. Костоусова. О полиэдральном оценивании множеств достижимости в "расширенном" пространстве для многошаговых систем с неопределенными матрицами и интегральными ограничениями // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. C. 141-155.

English

E.K. Kostousova. On polyhedral estimation of reachable sets in the “extended” space for discrete-time systems with uncertain matrices and integral constraints

The problems of reachability and construction of estimates of reachable sets are considered for discrete-time systems with initially linear structure and uncertainties in the initial conditions, matrices, and additive input actions. The uncertainties are restricted by given parallelepiped-valued, interval, and integral nonquadratic constraints, respectively. The systems under consideration turn out to be of bilinear type due to the uncertainty in the matrices. The reachable sets are considered not only in the original space $\mathbb {R}^{n}$ but also in the "extended" space $\mathbb {R}^{n+1}$, where the last coordinate $\mu$ corresponds to the current reserve of the additive input action. An exact description is given for the reachable sets $\mathcal {Z}[k]$ in the "extended" space using multivalued recurrence relations. Here, the representation of sets in the form of the union of their $\mu$-sections is used, and the recurrence relations include operations with sets; one of the operations (multiplication by an interval matrix) acts on each cross-section independently, and another combines the Minkowski sum and the union over cross-sections. The reachable sets $\mathcal {X}[k]$ in $\mathbb {R}^{n}$ are determined by the cross-sections of $\mathcal {Z}[k]$ corresponding to $\mu=0$. However, it is usually difficult to calculate $\mathcal {Z}[k]$ exactly from the above relations. Methods are proposed for the construction of parametrized families of external and internal polyhedral estimates of the sets $\mathcal {Z}[k]$ in the form of polytopes of a special type. On this basis, external parallelepiped-valued and internal parallelotope-valued estimates of $\mathcal {X}[k]$ are constructed. All estimates are found by explicit formulas from systems of recurrence relations.

Keywords: reachable set, integral constraints, uncertain matrix, polyhedral estimates, parallelepipeds, parallelotopes

Received November 13, 2019

Revised January 22, 2020

Accepted January 27, 2020

Elena Kirillovna Kostousova, Dr. Phys.-Math. Sci., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: kek@imm.uran.ru

Cite this article as: E.K. Kostousova. On polyhedral estimation of reachable sets in the “extended” space for discrete-time systems with uncertain matrices and integral constraints, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 141–155.