В.И. Максимов. Об одном алгоритме реконструкции возмущения нелинейной системы ... С. 156-166

УДК 517.977

MSC: 49N45, 93B52

DOI: 10.21538/0134-4889-2020-26-1-156-166

Рассматривается задача реконструкции неизвестного возмущения системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которая имеет две особенности. Во-первых, предполагается, что измеряются (с ошибкой) в дискретные, достаточно частые, моменты времени фазовые координаты заданной динамической системы. Во-вторых, относительно неизвестного возмущения, действующего на систему, известно лишь то, что оно является элементом пространства функций, суммируемых с квадратом евклидовой нормы, т. е может быть неограниченным. Указанные предположения ведут к невозможности точного восстановления. Учитывая данную особенность, мы конструируем устойчивый к информационным помехам и погрешностям вычислений алгоритм решения рассматриваемой задачи, который основан на сочетании элементов теории некорректных задач с известным в теории позиционных дифференциальных игр методом экстремального сдвига.

Ключевые слова: линейные управляемые системы, динамическое восстановление

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. 392 с.

2.   Kurzhanski A., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Boston: Birkhauser, 1996. 284 p.

3.   Ананьев Б.И., Гусев М.И., Филиппова Т.Ф. Управление и оценивание состояний динамических систем с неопределенностью. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 2018. 193 с.

4.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Некоторые алгоритмы динамического восстановления входов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 1. С. 29–161.

5.   Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse problems for ordinary differential equations: dynamical solutions. Basel: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

6.   Осипов Ю.С., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Методы динамического восстановления входов управляемых систем / УрО РАН. Екатеринбург, 2011. 291 с.

7.   Максимов В.И., Пандолфи Л. О реконструкции неограниченных управлений в нелинейных динамических системах // Прикл. математика и механика. 2001. Т. 65, № 4. С. 385–390.

8.   Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме динамического восстановления входного воздействия // Дифференц. уравнения. 2013. Т. 49, № 1. С. 88–100.

9.   Maksimov V.I. On dynamical reconstruction of an input in a linear system under measuring a part of coordinates // J. Inv. Ill-Posed Problems. 2018. Vol. 26, no. 3. P. 395–410.

10.   Близорукова М.С., Максимов В.И. Об одном алгоритме реконструкции траектории и управления в системе с запаздыванием // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 1. С. 109–122.

11.   Каппель Ф., Кряжимский А.В., Максимов В.И. Динамическая реконструкция состояний и гарантирующее управление системой реакции-диффузии // Докл. АН. 2000. Т. 370, № 5. С. 599–601.

12.   Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука, 1974. 456 с.

13.   Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1978. 285 с.

14.   Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с.

15.   Максимов В.И. О вычислении производной функции заданной неточно с помощью законов обратной связи // Тр. МИРАН. 2015. Т. 291. С. 231–243.

16.   Fang H., Shi Y., Yu J. On stable simultaneous input and state estimation for discrete-time linear systems // Internat. J. Adaptiv. Contr. Signal Proc. 2011. Vol.  25, no. 8. P. 671–686.

17.   Keller J.Y., Chabir K., Sauter D. Input reconstruction for networked control systems subject to deception attacks and data losses on control signals // Int. J. Syst. Sci. 2016. Vol. 47, no 4. P. 814–820.

18.   Keller J.Y., Sauter D. Kalman filter for discrete-time stochastic linear systems subject to intermittent unknown inputs // IEEE Trans. Autom. Contr. 2013. Vol. 58, no. 7. P. 1882–1887.

19.   Chabir K., Sid M.A., and Sauter D. Fault diagnosis in a networked control system under communication constraints: A quadrotor applications // Int. J. Apll. Math. Comput. Sci. 2014. Vol. 24. no. 4. P. 809–820.

Поступила 5.10.2019

После доработки 13.01.2020

Принята к публикации 20.01.2020

Максимов Вячеслав Иванович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. отделом
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН;
Уральский федеральный университет
г. Екатеринбург
e-mail: maksimov@imm.uran.ru

Ссылка на статью: В.И. Максимов. Об одном алгоритме реконструкции возмущения нелинейной системы // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2020. Т. 26, № 1. С. 156-166.

English

V.I. Maksimov. On an algorithm for the reconstruction of a perturbation in a nonlinear system

A problem of reconstruction of an unknown perturbation in a system of nonlinear ordinary differential equations is considered. The methods of solution of such problems are well known. In this paper we study a problem with two peculiarities. First, it is assumed that the phase coordinates of the dynamical system are measured (with error) at discrete sufficiently frequent times. Second, the only information known about the perturbation acting on the system is that its Euclidean norm is square integrable; i.e., the perturbation can be unbounded. Since the exact reconstruction is impossible under these assumptions, we design a solution algorithm that is stable under information noise and computation errors. The algorithm is based on the combination of elements of the theory of ill-posed problems with the extremal shift method known in the theory of positional differential games.

Keywords: linear control systems, dynamic reconstruction

Received November 5, 2019

Revised January 13, 2020

Accepted January 20, 2020

Vyacheslav Ivanovich Maksimov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia; Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia, e-mail: maksimov@imm.uran.ru

Cite this article as: V.I. Maksimov. On an algorithm for the reconstruction of a perturbation in a nonlinear system, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2020, vol. 26, no. 1, pp. 156–166.