А.С. Кондратьев. О распознаваемости спорадических простых групп $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$ и $Co_3$ по графу Грюнберга — Кегеля ... С. 79-87

УДК 512.542

MSC: 20D08, 20D20, 20D60, 20C20, 20C34, 20C40, 05C25

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-79-87

Полный текст статьи (Full text)

Статья переведена: ISSN 0081-5438 

Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2021, Vol. 313, Suppl. 1, pp. S125–S132. (Abstract)

Графом Грюнберга - Кегеля (графом простых чисел) $\Gamma(G)$ конечной группы $G$ называется граф, в котором вершинами служат простые делители порядка группы $G$ и две различные вершины $p$ и $q$ смежны тогда и только тогда, когда $G$ содержит элемент порядка $pq$. В теории конечных групп активно развиваются  исследования распознаваемости конечных групп по графу Грюнберга - Кегеля. Для конечной группы $G$ через $h_{\Gamma}(G)$ обозначается число всех неизоморфных конечных групп $H$ таких, что $\Gamma(H)=\Gamma(G)$ (если множество таких групп $H$ бесконечно, то пишем $h_{\Gamma}(G)=\infty$). Группа $G$ называется $n$-распознаваемой по графу Грюнберга - Кегеля, если $h_{\Gamma}(G)=n<\infty$, распознаваемой по графу Грюнберга - Кегеля, если $h_{\Gamma}(G)=1$, и нераспознаваемой по графу Грюнберга - Кегеля, если $h_{\Gamma}(G)=\infty$. Говорят, что проблема распознаваемости по графу Грюнберга - Кегеля решена для конечной группы $G$, если найдено значение $h_{\Gamma}(G)$. Для нераспознаваемой по графу Грюнберга - Кегеля конечной группы $G$ интересен также вопрос о (нормальном) строении конечных групп с таким же графом Грюнберга - Кегеля, как у $G$. В 2003 г. M. Хаги исследовала строение конечных групп, граф Грюнберга - Кегеля которых равен графу Грюнберга - Кегеля какой-либо спорадической простой группы. В частности, в этой работе были даны первые примеры конечных групп, распознаваемых по графу Грюнберга - Кегеля, а именно, спорадические простые группы $J_1$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$ и $Co_2$. Однако это исследование не было завершено. В 2006 г. в работе А.В. Заварницина была установлена распознаваемость по графу Грюнберга - Кегеля группы $J_4$. Нераспознаваемость по графу Грюнберга - Кегеля спорадических групп $M_{12}$ и $J_2$ была известна ранее, она следует из нераспознаваемости этих групп по спектру. В данной статье продолжается исследование Хаги с использованием ее результатов. Для каждой из спорадических простых групп $S$, изоморфных $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$ или $Co_3$, определены все конечные группы с таким же графом Грюнберга - Кегеля, как у $S$. Тем самым для этих шести групп $S$ завершено исследование Хаги, и, в частности, решена проблема распознаваемости по графу Грюнберга - Кегеля.

Ключевые слова: конечная группа, простая группа, спорадическая группа, спектр, граф Грюнберга - Кегеля, распознавание по графу Грюнберга - Кегеля

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Алексеева О.А., Кондратьев А.С. Квазираспознаваемость некоторых конечных простых групп по множеству порядков элементов // Укр. мат. конгр. 2001. Алгебра i теор. чисел. Секцiя 1: Тез. доп. Киев, 2001. С. 4.

2.   Дольфи С., Джабара Э., Лючидо М.С. C55-группы // Сиб. мат. журн. 2004. Т. 45, № 6. С. 1285–1298.

3.   Заварницин А.В. О распознавании конечных простых групп по графу простых чисел // Алгебра и логика. 2006. Т. 45, № 4. С. 390–408.

4.   Кондратьев А.С. О компонентах графа простых чисел конечных простых групп // Мат. сб. 1989. Т. 180, № 6. C. 787–797.

5.   Кондратьев А.С., Храмцов И.В. О конечных четырепримарных группах // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2011. Т. 17, № 4. С. 142–159.

6.   Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М.: Наука, 1969. 668 с.

7.   Мазуров В.Д. Характеризации конечных групп множествами порядков их элементов // Алгебра и логика. 1997. Т. 36, № 1. С. 37–53.

8.   Мазуров В.Д. Группы с заданным спектром // Изв. Урал. гос. ун-та. 2005. Т. 36. С. 119–138.

9.   Aschbacher M. Finite group theory. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1986. 274 p.
ISBN: 0198531990 .

10.   Bray J.N., Holt D.F., Roney-Dougal C.M. The maximal subgroups of the low-dimensional finite classical groups. Cambridge: Cambridge University Press, 2013. 438 p. (London Math. Soc. Lect. Note Ser.; vol. 407). doi: 10.1017/CBO9781139192576 .

11.   Chen G. A new characterization of sporadic simple groups // Algebra Colloq. 1996. Vol. 3, no. 1. P. 49–58.

12.   The GAP Group, GAP — Groups, Algorithms, and Programming. Ver. 4.10.0. 2018: [e-resource]. Available at: http://www.gap-system.org .

13.   Conway J.H., Curtis R.T., Norton S.P., Parker R.A., Wilson R.A. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p.

14.   Hagie M. The prime graph of a sporadic simple group // Comm. Algebra. 2003. Vol. 31, no. 9. P. 4405–4424. doi: 10.1081/AGB-120022800 .

15.   Huppert B., Blackburn N. Finite groups II. Berlin: Springer-Verlag, 1982. 531 p.

16.   Jansen C., Lux K., Parker R., Wilson R. An atlas of Brauer characters. Oxford: Clarendon Press, 1995. 327 p.

17.   Khosravi B. Groups with the same prime graph as an almost sporadic simple group // Acta Math. Acad. Paedagog. Nyhazi (N.S.). 2009. Vol. 25, no. 2. P. 175–187.

18.   Khosravi B. On the prime graphs of the automorphism groups of sporadic groups // Arch. Math. (Brno). 2009. Vol. 45, no. 2. P. 83–94.

19.   Lucido M.S. Prime graph components of finite almost simple groups // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, 1999. Vol. 102. P. 1–22; addendum // Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 2002. Vol. 107. P. 189–190.

20.   Mazurov V.D., Shi W.J. A note to the characterization of sporadic simple groups // Algebra Colloq. 1998. Vol. 5, no. 3. P. 285–288.

21.   Praeger C.E., Shi W.J. A characterization of some alternating and symmetric groups // Commun. Algebra. 1994. Vol. 22, no. 5. P. 1507–1530. doi: 10.1080/00927879408824920 .

22.   Williams J.S. Prime graph components of finite groups // J. Algebra. 1981. Vol. 69, no. 2. P. 487–513. doi: 10.1016/0021-8693(81)90218-0 .

Поступила 9.09.2019

После доработки 19.11.2019

Принята к публикации 21.11.2019

Кондратьев Анатолий Семенович
д-р физ.-мат. наук, профессор
зав. сектором
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.С. Кондратьев. О распознаваемости спорадических простых групп  $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He,$ $M^cL$ и $Co_3$  по графу Грюнберга — Кегеля // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 79-87.

English

A.S. Kondrat’ev. On the recognizability of sporadic simple groups $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$, and $Co_3$ by the Gruenberg–Kegel graph

The Gruenberg-Kegel graph (prime graph) $\Gamma(G)$ of a finite group $G$ is a graph in which the vertices are the prime divisors of the order of $G$ and two distinct vertices $p$ and $q$ are adjacent if and only if $G$ contains an element of order $pq$. The problem of recognition of finite groups by the Gruenberg-Kegel graph is of great interest in the finite group theory. For a finite group $G$, $h_{\Gamma}(G)$ denotes the number of all pairwise nonisomorhic finite groups $H$ such that $\Gamma(H)=\Gamma(G)$ (if the set of such groups $H$ is infinite, we write $h_{\Gamma}(G)=\infty$). A group $G$ is called $n$-recognizable by the Gruenberg-Kegel graph if $h_{\Gamma}(G)=n<\infty$, recognizable by the Gruenberg-Kegel graph if $h_{\Gamma}(G)=1$, and unrecognizable by the Gruenberg-Kegel graph if $h_{\Gamma}(G)=\infty$. We say that the problem of recognizability by the Gruenberg-Kegel graph is solved for a finite group $G$ if the value $h_{\Gamma}(G)$ is found. For a finite group $G$ unrecognizable by the Gruenberg- Kegel graph, the question of the (normal) structure of finite groups with the same Gruenberg- Kegel graph as $G$ is also of interest. In 2003, M. Hagie investigated the structure of finite groups having the same Gruenberg-Kegel graph as some sporadic simple group. In particular, she gave first examples of finite groups recognizable by the Gruenberg-Kegel graph; they were the sporadic simple groups $J_1$, $M_{22}$, $M_{23}$, $M_{24}$, and $Co_2$. However, that investigation was not completed. In 2006, A. V. Zavarnitsine established that the group $J_4$ is recognizable by the Gruenberg-Kegel graph. The unrecognizability of the sporadic groups $M_{12}$ and $J_2$ was known previously; it follows from the unrecognizability of these groups by the spectrum. In the present paper, we continue Hagie's study and use her results. For any sporadic simple group $S$ isomorphic to $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$, or $Co_3$, we find all the finite groups having the same Gruenberg-Kegel graph as $S$. Thus, for these six groups, we complete Hagie's investigation and, in particular, we solve the problem of recognizability by the Gruenberg-Kegel graph.

Keywords: finite group, simple group, sporadic group, spectrum, Gruenberg-Kegel graph, recognition by the Gruenberg-Kegel graph

Received September 5, 2019

Revised October 18, 2019

Accepted October 21, 2019

Anatolii Semenovich Kondrat’ev, Dr. Phys.-Math. Sci., N.N. Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620990 Russia, e-mail: A.S.Kondratiev@imm.uran.ru

Cite this article as: A.S.Kondrat’ev. On the recognizability of sporadic simple groups $Ru$, $HN$, $Fi_{22}$, $He$, $M^cL$, and $Co_3$ by the Gruenberg–Kegel graph, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 79–87; Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Suppl.), 2021, Vol. 313, Suppl. 1, pp. S125–S132.