А.В. Коныгин. О примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них: случай, когда цоколь есть степень группы $E_8(q)$ ... С. 88-98

УДК 512.542

MSC: 20B15, 20D06

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-88-98

Полный текст статьи (Full text)

Пусть $G$ - примитивная группа подстановок на конечном множестве $X$, $x \in X$, $y \in X \setminus \{x\}$ и $G_{x, y}~\trianglelefteq~G_x$. П. Камероном был поставлен вопрос о справедливости в этом случае равенства $G_{x, y} = 1$. Ранее автором было доказано, что если цоколь группы $G$ не является степенью группы, изоморфной $E_8(q)$, $q$ - степень простого числа, то $G_{x, y} = 1$. В настоящей работе рассматривается случай, когда цоколь группы $G$ является степенью группы, изоморфной $E_8(q)$. Вместе с предыдущим результатом мы получаем два следующих утверждения: 1. Пусть $G$ - почти простая примитивная группа подстановок на конечном множестве $X$. Предположим, что в случае, если цоколь $G$ изоморфен $E_8(q)$, то $G_x$ для $x \in X$ не является подгруппой Боровика в группе $G$. Тогда для таких примитивных групп подстановок $G$ ответ на вопрос П. Камерона положителен. 2.  Пусть $G$ - примитивная группа подстановок на конечном множестве $X$ со свойством  $G \leq H \mathrm{ wr } S_m$. Предположим, что в случае, если цоколь группы $H$ изоморфен $E_8(q)$, то стабилизатор точки в группе $H$ не является подгруппой Боровика в группе $H$. Тогда для таких примитивных групп подстановок $G$ ответ на вопрос П. Камерона также положителен.

Ключевые слова: примитивная группа подстановок, регулярная подорбита

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Benson D., Carlson J. Nilpotent elements in the Green ring // J. Algebra. 1986. Vol. 104. P. 329–350. doi: 10.1016/0021-8693(86)90219-X 

2.   Borovik A. V. A maximal subgroup in the simple finite group $E_8(q)$ // Contemporary Mathematics (131). 1992. Part 1, P. 67–79. doi: 10.1090/conm/131.1 

3.   Cameron P.J. Suborbits in transitive permutation groups // Combinatorics: Proc. NATO Advanced Study Inst. (Breukelen, 1974). Part 3: Combinatorial Group Theory. Amsterdam: Math. Centrum, 1974. P. 98–129. (Math. Centre Tracts; vol. 57).

4.   Cohen A.M., Liebeck M.W., Saxl J., Seitz G.M. The local maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, finite and algebraic // Proc. London Mat. Soc. (3). 1992. Vol. 64. P. 21–48. doi: 10.1112/plms/s3-64.1.21 

5.   Conway J.H. et. al. Atlas of finite groups. Oxford: Clarendon Press, 1985. 252 p. ISBN: 0-19-853199-0 .

6.   Craven D.A. On tensor products of simple modules for simple groups // Algebras and Representation Theory. 2013. Vol. 16, iss. 2. P. 377–404. doi: 10.1007/s10468-011-9311-5 

7.   Doty S., Henke A. Decomposition of tensor products of modular irreducibles for SL${}_2$ // Q. J. Math. Algebra. 2005. Vol. 56, no. 2. P. 189–207. doi: 10.1093/qmath/hah027 

8.   Feit W. The representation theory of finite groups. North-Holland: Elsevier, 1982. 501 p. (North-Holland Mathematical Library). ISBN: 978-0-444-86155-9 .

9.   Фомин А.Н. Свойства подорбит конечных примитивных групп подстановок // Теоретико-групповые исследования: сб. науч. тр. / УрО АН СССР. Свердловск, 1990. С. 87–94.

10.   Humphreys J.E. Modular representations of finite groups of Lie type Cambridge: Cambridge University Press, 2011. 206 p. doi: 10.1017/CBO9780511525940 

11.   Коныгин А.В. О примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них // Сиб. электрон. мат. изв. 2008. Т. 5. C. 387–406.

12.   Коныгин А.В. К вопросу П. Камерона о примитивных группах подстановок со стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2013. Т. 19, № 3. С. 187–198.

13.   Knapp W. Primitive Permutationsgruppen mit einem Subkonstituenten, dessen Stabilisatorgruppe Fittingfrei ist // Arch. Math. 1974. Vol. 25. P. 472–475. doi: 10.1007/BF01238709 

14.   Knapp W. Some problems of Wielandt revisited // J. Algebra. 2006. Vol. 302, no. 1. P. 167–185. doi: 10.1016/j.jalgebra.2005.09.013 

15.   Liebeck M.W., Praeger Ch.E., Saxl J. On the O’Nan–Scott theorem for finite primitive permutation groups // J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1988. Vol. 44, no. 3. P. 389–396. doi: 10.1017/S144678870003216X 

16.   Liebeck M.W., Saxl J., Seitz G.M. Subgroups of maximal rank in finite exceptional groups of Lie type // Proc. London Math. Soc. (3). 1992. Vol. 65, no. 2. P. 297–325. doi: 10.1112/plms/s3-65.2.297 

17.   Liebeck M.W., Seitz G.M. Maximal subgroups of exceptional groups of Lie type, finite and algebraic // Geom. Dedicata. 1990. Vol. 35, no. 1–3. P. 353–387. doi: 10.1007/BF00147353 

18.   Liebeck M.W., Seitz G.M. The maximal subgroups of positive dimension in exceptional algebraic groups. Providence: AMS, 2004. 227 p. ( Mem. Amer. Math. Soc.; vol. 169, no 802.) ISBN: 0-8218-3482-7 .

19.   Lubeck F. Small degree representations of finite Chevalley groups in defining characteristic // LMS J. Comput. Math. 2001. No. 4. P. 135–169. doi: 10.1112/S1461157000000838 

20.   Malle G., Testerman D. Linear algebraic groups and finite groups of Lie type. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2011. 309 p. doi: 10.1017/CBO9780511994777 

21.   Reitz H.L. On primitive groups of odd order // Amer. J. Math. 1904. Vol. 26. P. 1–30. doi: 10.2307/2369903 

22.   Seitz G.M. Maximal subgroups of exceptional algebraic groups Providence: AMS, 1991. 197 p. (Mem. Amer. Math. Soc.; vol. 90, no. 441.) ISBN: 0821825046 .

23.   Unsolved problems in group theory. The Kourovka Notebook / eds. E.I. Khukhro, V.D. Mazurov: [e-resource]. 248 p. Available at: ArXiv:1401.0300v13 [math.GR] June 2018

24.   Weiss M.J. On simply transitive groups // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. Vol. 40. P. 401–405. doi: 10.1090/S0002-9904-1934-05871-3 

25.   Wielandt H. Finite permutation groups. N Y: Acad. Press, 1964. 114 p. ISBN: 9781483258294 .

Поступила 19.09.2019

После доработки 18.11.2019

Принята к публикации 25.11.2019

Коныгин Антон Владимирович
канд. физ.-мат. наук, науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: konygin@imm.uran.ru

Ссылка на статью: А.В. Коныгин. О примитивных группах подстановок со  стабилизатором двух точек, нормальным в стабилизаторе одной из них: случай, когда цоколь есть степень группы $E_8(q)$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т.25, № 4. С. 88-98.

English

A.V. Konygin. On primitive permutation groups with the stabilizer of two points normal in the stabilizer of one of them: The case when the socle is a power of a group $E_8(q)$.

Assume that $G$ is a primitive permutation group on a finite set $X$, $x\in X\setminus\{x\}$, and $G_{x, y}\trianglelefteq G_x$. P. Cameron raised the question about the validity of the equality $G_{x, y} = 1$ in this case. The author proved earlier that, if the socle of $G$ is not a power of a group isomorphic to $E_8(q)$ for a prime power $q$, then $G_{x, y}=1$. In the present paper, we consider the case where the socle of $G$ is a power of a group isomorphic to $E_8(q)$. Together with the previous result, we establish the following two statements. 1. Let $G$ be an almost simple primitive permutation group on a finite set $X$. Assume that, if the socle of $G$ is isomorphic to $E_8(q)$, then $G_x$ for $x \in X$ is not the Borovik subgroup of $G$. Then the answer to Cameron's question for such primitive permutation groups is affirmative. 2. Let $G$ be a primitive permutation group on a finite set $X$ with the property $G\leq H\mathrm{ wr } S_m$. Assume that, if the socle of $H$ is isomorphic to $E_8(q)$, then the stabilizer of a point in the group $H$ is not the Borovik subgroup of $H$. Then the answer to Cameron's question for such primitive permutation groups is also affirmative.

Keywords: primitive permutation group, regular suborbit

Received September 19, 2019

Revised November 18, 2019

Accepted November 25, 2019

Anton Vladimirovich Konygin, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia e-mail: konygin@imm.uran.ru

Cite this article as: A.V.Konygin. On primitive permutation groups with the stabilizer of two points normal in the stabilizer of one of them: The case when the socle is a power of a group $E_8(q)$, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 88–98.