М.Ш. Шабозов, А.А. Шабозова. Некоторые точные неравенства типа Джексона — Стечкина для периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в $L_2$ ... C. 255-264

УДК 517.5

MSC: 42C10, 47A58

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-255-264

Полный текст статьи (Full text)

Для периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций, принадлежащих пространству $L_2$, получены точные неравенства типа Джексона — Стечкина для специального модуля непрерывности $m$-го порядка, порожденного оператором (функцией) Стеклова. Аналогичные характеристики гладкости функций рассматривались ранее в работах В. А. Абилова, Ф. В. Абиловой, В. М. Кокилашвили, С. Б. Вакарчука, В. И. Забутной, К. Тухлиева и других. Для классов функций, определенных при помощи указанных характеристик, решен ряд экстремальных задач теории полиномиальной аппроксимации.

Ключевые слова: наилучшее приближение, периодическая функция, специальный модуль непрерывности, неравенства Джексона – Стечкина, экстремальные задачи

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Ditzian Z., Totik V. Moduli of smoothness. N Y: Springer-Verlag, 1987. (Springer Ser. Comput. Math.; vol. 9). doi: 10.1007/978-1-4612-4778-4 . 227 p.

2.   Руновский К.В. О приближении семействами линейных полиномиальных операторов в пространствах $L_{p}, 0<p<1$ // Мат. сб. 1994. Т. 185, №8. С. 81–102.

3.   Васильев С.Н. Точное неравенство Джексона — Стечкина в $L_{2}$  с модулем непрерывности, порожденными произвольным конечно-разностным оператором с постоянными коэффициентами // Докл. РАН. 2002. Т. 385, № 1. С. 11–14.

4.   Козко А.И., Рождественский А.В. О неравенстве Джексона с обобщенным модулем непрерывности // Мат. заметки. 2003. Т. 73, № 5. С. 783–788.

5.   Вакарчук С.Б. Точные константы в неравенствах типа Джексона и точные значения поперечников функциональных классов из $L_2$  // Мат. заметки. 2005. Т. 78, № 5. С. 792–796.

6.   Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве $L_2(\mathbb{R}^{d})$  со степенным весом // Мат. заметки. 2013. Т. 94, вып. 3. С. 338–348.

7.   Потапов М.К. О применении одного оператора обобщенного сдвига в теории приближений // Вест. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1998. № 3. С. 38–48.

8.   Потапов М.К. О применении несимметричных операторов обобщенного сдвига в теории приближений // Тр. математического центра им. Н. И. Лобачевского. Казань, 2001. Т. 8. С. 185–189.

9.   Потапов М.К. О свойствах и о применении в теории приближений одного свойства операторов обобщенного сдвига // Мат. заметки. 2001. Т.69, № 3. С. 412–426.

10.   Нападенина А.Ю. О совпадении классов функций, определяемых операторами обобщенного сдвига или порядком наилучшего приближения // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. № 2. С. 29–33.

11.   Абилов В.А., Абилова Ф.В. Некоторые вопросы приближения $2\pi$-периодических функций суммами Фурье в пространстве $L_{2}(2\pi)$  // Мат. заметки. 2004. Т. 76, № 6. С. 803–811.

12.   Kokilashvili V., Yildirir Y.E. On the approximation in weighted Lebesgue spaces // Proc. A. Ramzadze Math. Inst. 2007. Vol. 143. P. 103–113.

13.   Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона — Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве L2 // Мат. заметки. 2012. Т. 92, № 4. С. 497–514.

14.   Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие полиномиальные приближения и поперечники некоторых функциональных классов в $L_{2}$  // Мат. заметки. 2013. Т. 94, № 6. С. 908–917.

15.   Weyl H. Bemerkungen zum Begriff der differential quotienten gebrochener Ordnung, Vierteljahresschr. Natursch. Ges. Zurich. 1917. Vol. 62. P. 296–302.

16.   Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из $L_{2}$  // Мат. заметки. 1976. Т 20, № 3. С. 433–438.

17.   Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в $L_{2}$  некоторых классов $2\pi$-периодических функций и точные значения их поперечников // Мат. заметки. 2011. Т. 90, № 5. С. 764–775.

Поступила 20.08.2019

После доработки 31.10.2019

Принята к публикации 11.11.2019

Шабозов Мирганд Шабозович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Таджикский национальный университет;
Университет Центральной Азии
г. Душанбе
e-mail: shabozov@mail.ru

Шабозова Адолат Азамовна
ассистент кафедры теории функций и математического анализа
Таджикский национальный университет;
Университет Центральной Азии
г. Душанбе
e-mail: shabozova91@mail.ru

Ссылка на статью: М.Ш. Шабозов, А.А. Шабозова. Некоторые точные неравенства типа Джексона — Стечкина для периодических дифференцируемых в смысле Вейля функций в $L_2$ // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 255-264.

English

M.Sh. Shabozov, A.A. Shabozova. Sharp inequalities of Jackson–Stechkin type for periodic functions in $L_2$ differentiable in the Weyl sense

For periodic functions differentiable in the sense of Weyl and belonging to the space $L_2$, sharp inequalities of Jackson–Stechkin type are obtained for a special $m$th-order modulus of continuity generated by the Steklov operator (function). Similar characteristics of smoothness of functions were considered earlier by V. A. Abilov, F. V. Abilova, V. M. Kokilashvili, S. B. Vakarchuk, V. I. Zabutnaya, K. Tukhliev, etc. For classes of functions defined in terms of these characteristics, we solve a number of extremal problems of polynomial approximation theory.

Keywords: best approximation, periodic function, special modulus of continuity, Jackson–Stechkin inequalities, extremal problems

Received August 20, 2019

Revised October 31, 2019

Accepted November 11, 2019

Mirgand Shabozovich Shabozov, Dr. Phys.-Math. Sci., Prof., Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikistan, e-mail: shabozov@mail.ru

Adolat Azamovna Shabozova, Tajik National University, Dushanbe, 734025 Republic of Tajikistan, e-mail: shabozova91@mail.ru

Cite this article as: M.Sh.Shabozov, A.A.Shabozova. Sharp inequalities of Jackson–Stechkin type for periodic functions in $L_2$ differentiable in the Weyl sense, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 255–264.