УДК 512.54+519.17
MSC: 05E30, 05C25
DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-249-254
Полный текст статьи (Full text)
Схемой отношений называется пара $(\Omega,\mathcal{R})$, состоящая из конечного множества $\Omega$ и множества $\mathcal{R}=\{R_0,R_1\ldots, R_s\}$ бинарных отношений на $\Omega$, удовлетворяющего следующим условиям: (1) $\mathcal{R}$ - разбиение множества $\Omega^2$; (2) $\{(x,x)\ |\ x\in \Omega\}\in \mathcal{R}$; (3) ${R_t}^T=\{(y,x)\ |\ (x,y)\in R_t\}\in {\mathcal R}$ для всех $0\le t\le s$; (4) для всех $0\le i,j,t\le s$ существуют константы $c_{ij}^t$ (называемые числами пересечений схемы) такие, что $c_{ij}^t=|\{z\in \Omega| (x,z)\in R_i \text{ и }(z,y)\in R_j\}|$ для любой пары $(x,y)\in R_t$. Схема отношений $(\Omega,\mathcal{R})$ называется шуровой, если для некоторой группы подстановок на $\Omega$ ее набор орбиталов на $\Omega$ совпадает с $\mathcal{R}$. Данная работа посвящена исследованию шуровых схем отношений, связанных с группами Судзуки $Sz(q)$ и Ри ${^2G}_2(q)$, где $q>3$, для которых графы ряда базисных отношений являются антиподальными дистанционно регулярными графами диаметра 3. Пусть $G$ - одна из указанных групп, $r=(q-1)_{2'}$, $B$ - подгруппа Бореля группы $G$, $U$ - унипотентная подгруппа группы $G$, содержащаяся в $B$, $K$ - подгруппа из $B$ индекса $r$, $g$ - инволюция из $G-B$ и $f$ - элемент из $B\cap B^g$ порядка $r$. Пусть $\Omega$ - множество правых смежных классов группы $G$ по подгруппе $K$, $h_i=f^i$ и $h_{r+i}=gf^i$ для всех $i\in \{0,\ldots,r-1\}$. Обозначим через ${\mathcal{R}}$ множество $\{R_0,R_1,\ldots, R_{2r-1}\}$ бинарных отношений на $\Omega$, определенных для каждого $t\in \{0,1,\ldots,2r-1\}$ по правилу: $(Kx,Ky)\in R_t$ тогда и только тогда, когда элемент $xy^{-1}$ содержится в двойном смежном классе $Kh_tK$. В работе доказано, что ${\mathcal X}=(\Omega, {\mathcal{R}})$ - шурова схема отношений, множество базисных отношений которой совпадает с набором орбиталов $G$ на $\Omega$, и установлено, что число пересечений $c_{ij}^t$, где $0\le i,j,t\le 2r-1$, схемы ${\mathcal X}$ равно $|U|$ при $t\le r-1, i,j\ge r$ и $j-i\equiv t \pmod r;$ $(|U|-1)/r$ - при $ i,j,t\ge r;$ $1$ - в случаях, если $ t\le r-1, i,j\le r-1 $ и $ i+j\equiv t \pmod r, $ или $ i\le r-1, t,j\ge r $ и $ j-i\equiv t \pmod r, $ или $ t,i\ge r, j\le r-1 $ и $ i+j\equiv t \pmod r;$ $0$ - в остальных случаях; здесь $|U|=q^2$ при $G=Sz(q)$ и $|U|=q^3$ при $G={^2G}_2(q)$. Как следствие, найдены структурные параметры $m_{h_t}(h_i,h_j)=|\{Kx\in \Omega |\ Kx\subseteq Kh_i^{-1}Kh_t\cap Kh_jK\}|$ алгебры Гекке $\mathbb{C}(K{\setminus}G/K)$ группы $G$ относительно $K$. А именно, показано, что $m_{h_t}(h_i,h_j)$ - это в точности число пересечений $c_{ij}^t$ схемы ${\mathcal X}$ для всех $0\le i,j,t\le 2r-1$. По построению граф базисного отношения $R_t$ с $t\ge r$ схемы ${\mathcal X}$ эквивалентен графу $\Gamma(G,K,Kh_tK)$ смежных классов группы $G$ относительно подгруппы $K$ и элемента $h_t$, и, как известно, является антиподальным дистанционно регулярным графом диаметра 3 с массивом пересечений $\{|U|,(|U|-1)(r-1)/r,1;1,(|U|-1)/r,|U|\}$. Последний факт доказан в более ранней статье автора, где был предложен метод исследования графов $\Gamma(G,K,Kh_tK)$, основанный на анализе взаимного распределения окрестностей их вершин. В настоящей работе приведено доказательство дистанционной регулярности этих графов как следствие из найденных свойств схемы ${\mathcal X}$.
Ключевые слова: шурова схема отношений, дистанционно регулярный граф, антиподальный граф
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Muzychuk M., Ponomarenko I. Association schemes, Schur rings and the isomorphism problem for circulant graphs [e-resource]. Part 1 // Notes of lectures given at the international workshop “Algorithmic problems in group theory and related areas” (Novosibirsk, 2014). P. 1–24. Available at: http://www.math.nsc.ru/conference/isc/2014/lectures/MP1_2014.pdf
2. Tsiovkina L.Yu. Two new infinite families of arc-transitive antipodal distance-regular graphs of diameter three with $\lambda =\mu $ related to groups $Sz(q)$ and ${^2}G_2(q)$ // J. Algebr. Comb. 2015. Vol. 41, no 4. P. 1079–1087. doi: 10.1007/s10801-014-0566-x
3. Aschbacher M. Finite Group Theory, Second edition. Cambridge: Cambridge University Press, 2000. 305 p.
4. Carter R.W. Simple groups of Lie type. London, etc: Wiley, 1972. 332 p.
Поступила 5.09.2019
После доработки 23.10.2019
Принята к публикации 28.10.2019
Циовкина Людмила Юрьевна
канд. физ.-мат. наук, старший науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н.Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: l.tsiovkina@gmail.com
Ссылка на статью: Л.Ю. Циовкина. Некоторые шуровы схемы отношений, связанные с группами Судзуки и Ри // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 249-254.
English
L.Yu. Tsiovkina. Some Schurian association schemes related to Suzuki and Ree groups
An association scheme is a pair $(\Omega,\mathcal{R})$ consisting of a finite set $\Omega$ and a set $\mathcal{R}=\{R_0,R_1\ldots, R_s\}$ of binary relations on $\Omega$ satisfying the following conditions: (1) $\mathcal{R}$ is a partition of the set $\Omega^2$; (2) $\{(x,x)\ |\ x\in \Omega\}\in \mathcal{R}$; (3) ${R_t}^T=\{(y,x)\ |\ (x,y)\in R_t\}\in {\mathcal R}$ for all $0\le t\le s$; (4) for all $0\le i,j,t\le s$, there exist constants $c_{ij}^t$ (called the intersection numbers of the scheme) such that $c_{ij}^t=|\{z\in \Omega| (x,z)\in R_i, (z,y)\in R_j\}|$ for any pair $(x,y)\in R_t$. An association scheme $(\Omega,\mathcal{R})$ is called Schurian if, for some permutation group on $\Omega$, the set of orbitals of this group on $\Omega$ coincides with $\mathcal{R}$. This work is devoted to the study of Schurian association schemes related to Suzuki groups $Sz(q)$ and Ree groups ${^2G}_2(q)$ with $q>3$ for which some graphs of their basic relations are antipodal distance-regular graphs of diameter 3. Assume that $G$ is one of the mentioned groups, $r=(q-1)_{2'}$, $B$ is a Borel subgroup of $G$, $U$ is a unipotent subgroup of $G$ contained in $B$, $K$ is a subgroup of $B$ with index $r$, $g$ is an involution in $G-B$, and $f$ is an element of order $r$ in $B\cap B^g$. Let$\Omega$ be the set of the right $K$-cosets of $G$, and put $h_i=f^i$ and $h_{r+i}=gf^i$ for all $i\in \{0,\ldots,r-1\}$. Denote by ${\mathcal{R}}$ the set $\{R_0,R_1,\ldots, R_{2r-1}\}$ of binary relations on $\Omega$ defined for each $t\in \{0,1,\ldots,2r-1\}$ by the rule: $(Kx,Ky)\in R_t$ if and only if $xy^{-1}$ is contained in the double coset $Kh_tK$. We prove that ${\mathcal X}=(\Omega, {\mathcal{R}})$ is a Schurian association scheme and its set of basic relations coincides with the set of orbitals of $G$ on $\Omega$. We find that the intersection number $c_{ij}^t$, where $0\le i,j,t\le 2r-1$, of the scheme ${\mathcal X}$ is $|U|$ if $t\le r-1$, $i,j\ge r$, and $j-i\equiv t \pmod r$; $(|U|-1)/r$ if $ i,j,t\ge r$; 1 if either $t\le r-1$, $i,j\le r-1$, and $ i+j\equiv t \pmod r$, or $i\le r-1$, $t,j\ge r$, and $ j-i\equiv t \pmod r$, or $t,i\ge r$, $j\le r-1$, and $ i+j\equiv t \pmod r$; and 0 in the remaining cases, where $|U|=q^2$ if $G=Sz(q)$ and $|U|=q^3$ if $G={^2G}_2(q)$. As a corollary, we find the structural parameters $m_{h_t}(h_i,h_j)=|\{Kx\in \Omega |\ Kx\subseteq Kh_i^{-1}Kh_t\cap Kh_jK\}|$ of the Hecke algebra $\mathbb{C}(K{\setminus}G/K)$ of $G$ with respect to $K$. Namely, we show that $m_{h_t}(h_i,h_j)$ is exactly the intersection number $c_{ij}^t$ of the scheme ${\mathcal X}$ for all $0\le i,j,t\le 2r-1$. By definition, the graph of the basic relation $R_t$ with $t\ge r$ of ${\mathcal X}$ is equivalent to the coset graph $\Gamma(G,K,Kh_tK)$ of $G$ with respect to $K$ and the element $h_t$ and, as is known, is an antipodal distance-regular graph of diameter 3 with intersection array $\{|U|,(|U|-1)(r-1)/r,1;1,(|U|-1)/r,|U|\}$. The latter fact was proved in the author's earlier paper, where we proposed a technique for studying\linebreak the graphs $\Gamma(G,K,Kh_tK)$; the technique is based on analyzing the mutual distribution of the neighborhoods of vertices. In the present work, we prove the distance regularity of these graphs as a corollary of the properties of the scheme ${\mathcal X}$.
Keywords: Schurian association scheme, distance-regular graph, antipodal graph
Received September 5, 2019
Revised October 23, 2019
Accepted October 28, 2019
Lyudmila Yuryevna Tsiovkina, Cand. Sci. (Phys.-Math.), Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: l.tsiovkina@gmail.com
Cite this article as: L.Yu.Tsiovkina. Some Schurian association schemes related to Suzuki and Ree groups, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 249–254.
