Д.Б. Базарханов. Линейное восстановление псевдодифференциальных операторов на классах гладких функций на $m$-мерном торе.II ... С. 15-30

УДК 517.95

MSC: 41A45, 42B05, 35S05, 58J40

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-15-30

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при поддержке гранта AP05133257 МОН РК.

В предлагаемой работе формулируется и обсуждается задача оптимального восстановления значений псевдодифференциальных операторов $T_a$ на $m$-мерном торе $\mathbb{T}^m$ с символами $a$ из классов $\widetilde{\Psi}_{\epsilon\,\theta}^{\tau\mathtt{m}}[\upsilon;$K,L$]$, на распределениях $f$ из классов $\mathrm{B}^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ типа Никольского - Бесова и $\mathrm{L}^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ типа Лизоркина - Трибеля по конечной спектральной информации о символе оператора и о распределении (конечные наборы коэффициентов Фурье символа оператора и распределения). Доказывается, что оптимальным (или, по крайней мере, линейным оптимальным) по порядку методом восстановления в этой задаче для ряда соотношений между параметрами класса символов, класса распределений и объемлющего пространства является метод $\Upsilon_{\Lambda(\gamma, N)}$, построенный и изученный в части I данной работы автора (2018); при этом величина (линейного) оптимального восстановления имеет точный порядок соответствующего поперечника Фурье классов $\mathrm{B}^{s - \tau \,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ и $\mathrm{L}^{s - \tau \,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ соответственно (теорема 1). Попутно утверждение теоремы 1 части I  доказывается при "естественных"  условиях на дифференциальные параметры $\tau$ классов символов $\widetilde{\Psi}_{\epsilon\,\theta}^{\tau\mathtt{m}}[\upsilon;$K,L$]$ и $s$ пространств $B^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ типа Никольского - Бесова и $L^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ типа Лизоркина - Трибеля; кроме того, устанавливается, что оценки сверху из теоремы 1 на самом деле являются точными в смысле порядка (см. теорему 3).

Ключевые слова: псевдодифференциальный оператор на $m$-мерном торе, класс символов (типа произведения), пространство распределений типа Никольского - Бесова / Лизоркина - Трибеля, оптимальное восстановление класса операторов, оценки погрешности оптимального восстановления, поперечник Фурье

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Micchelli C.A., Rivlin T.J. A survey of optimal recovery // Optimal Estimation in Approximation Theory /eds. C.A. Micchelli, T.J. Rivlin. N Y etc.: Plenum, 1977. P. 1–54. doi: 10.1007/978-1-4684-2388-4_1 

2.   Micchelli C.A., Rivlin T.J. Lectures on optimal recovery // Numerical Analysis Lancaster / ed. P.R. Turner. Berlin: Springer–Verlag, 1984. P. 21–93. (Lecture Notes Math.; vol. 1129). doi: 10.1007/BFb0075157 

3.   Трауб Дж., Вожьняковский Х. Общая теория оптимальных алгоритмов. М.: Мир, 1983. 382 c.

4.   Арестов В.В. Наилучшее восстановление операторов и родственные задачи // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 3–20.

5.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124.

6.   Женсыкбаев А.А. Проблемы восстановления операторов. М.; Ижевск: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. 411 c.

7.   Dinh Dung, Temlyakov V.N., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. Basel: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user Springer, 2018. 218 p. doi: 10.1007/978-3-319-92240-9 

8.   Базарханов Д.Б. Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. I // Тр. МИАН. 2010. Т. 269. С. 8–30.

9.   Базарханов Д.Б. Приближение всплесками и поперечники Фурье классов периодических функций многих переменных. II // Analysis Math. 2012. Vol. 38, no. 4. С.  249–289. doi: 10.1007/s10476-012-0401-3 

10.   Темляков В. Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Тр. МИАН СССР. 1989. Т. 189. С. 138–168.

11.   Ruzhansky M., Turunen V. Pseudo-differential operators and symmetries: background analysis and advanced topics. Basel: Birkh$\ddot{\mathrm{a}}$user Springer, 2009. 709 p. doi: 10.1007/978-3-7643-8514-9 

12.   Никольский С. M. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. 2-е изд. Москва: Наука, 1977. 456 с.

13.   Трибель Х. Теория функциональных пространств. М.: Мир, 1986. 448 p.

14.   Schmeisser H. J., Triebel H. Topics in Fourier analysis and function spaces. Chichester: J. Wiley & Sons, 1987. 300 p.

15.   Bazarkhanov D.B. Estimates for the widths of classes of periodic functions of several variables. I // Eurasian Math. J. 2010. Vol. 1, no. 3. С. 11–26.

16.   Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для задач математической физики / ред. К.И. Бабенко. М.: Наука, 1979. 295 c.

17.   Novak E., Wozniakowski H. Tractability of multivariate problems. Vol. I: Linear information. Zurich: EMS Tracts Math., 2008.

18.   Novak E., Wozniakowski H. Tractability of multivariate problems. Vol. II: Standard information for functionals. Zurich: EMS Tracts Math., 2010.

19.   Novak E., Wozniakowski H. Tractability of multivariate problems. Vol. III: Standard information for operators. Zurich: EMS Tracts Math., 2012.

20.   Магарил – Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по коэффициентам Фурье, заданным с погрешностью // Мат. сб. 2002. Т. 193, № 3 С. 79–100.

21.   Выск Н. Д., Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление решения волнового уравнения по неточным начальным данным // Мат. заметки. 2007. Т. 81, № 6 С. 803–815.

22.   Магарил – Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. О наилучшем гармоническом синтезе периодических функций // Фунд. и прикладная математика. 2013. Т. 18, № 5 С. 155–174.

23.   Осипенко К. Ю. Оптимальное восстановление линейных операторов в неевклидовых метриках // Мат. сб. 2014. Т. 205, № 10 С. 77–106.

24.   Переверзев С. В. О сложности задачи нахождения решений уравнений Фредгольма II рода с гладкими ядрами. I // Укр. мат. журн. 1988. Т. 40, № 1 С. 84–91.

25.   Переверзев С. В. О сложности задачи нахождения решений уравнений Фредгольма II рода с гладкими ядрами. II // Укр. мат. журн. 1989. Т. 41, № 2 С. 189–193.

26.   Переверзев С. В. Гиперболический крест и сложность приближенного решения уравнений Фредгольма II рода с дифференцируемыми ядрами. // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 1. С. 107–115.

27.   Heinrich S. Complexity of integral equations and relation to s-numbers // J. Complexity. 1993. Vol. 9, no. 1. P. 141–153. doi: 10.1006/jcom.1993.1010 

28.   Frank K., Heinrich S., Pereverzev S. V. Information complexity of multivariate Fredholm integral equations in Sobolev classes // J. Complexity. 1996. Vol. 12, no. 1. P. 17–34. doi: 10.1006/jcom.1996.0004 

Поступила 9.08.2019

После доработки 18.11.2019

Принята к публикации 25.11.2019

Базарханов Даурен Болысбекович
канд. физ.-мат. наук, профессор
главный науч. сотрудник
Институт математики и математического моделирования
г. Алматы
e-mail: dauren.mirza@gmail.com

Ссылка на статью: Д.Б. Базарханов. Линейное восстановление псевдодифференциальных операторов на классах гладких функций на $m$-мерном торе.II // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 15-30.

English

D.B. Bazarkhanov. Linear recovery of pseudodifferential operators on classes of smooth functions on an $m$-dimensional torus. II

We formulate and discuss a problem of optimal recovery of values $T_af$ of pseudodifferential operators $T_a$ on an $m$-dimensional torus $\mathbb{T}^m$ with symbols $a$ from the classes $\widetilde{\Psi}_{\epsilon\,\theta}^{\tau\mathtt{m}}[\upsilon;$K,L$]$ on distributions $f$ from the classes $\mathrm{B}^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ of Nikol'skii--Besov type and $\mathrm{L}^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ of Lizorkin--Triebel type from finite spectral information about the symbol of the operator and the distribution (finite sets of Fourier coefficients of the symbol and the distribution). We show that the recovery method $\Upsilon_{\Lambda(\gamma, N)}$ constructed and studied in 2018 in the first part of this research is order-optimal (or at least linear order-optimal) in this problem for a number of relations between the parameters of the symbol class, the class of distributions, and the ambient space. Furthermore, the (linear) optimal recovery error has exact order of the corresponding Fourier widths of the classes $\mathrm{B}^{s - \tau\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ and $\mathrm{L}^{s - \tau\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$, respectively (Theorem 1). Simultaneously, the claim of Theorem 1 from part I of this research is proved under ``natural'' conditions on the differential parameters $\tau$ of the symbol classes $\widetilde{\Psi}_{\epsilon\,\theta}^{\tau\mathtt{m}}[\upsilon;$K,L$]$ and $s$ of the spaces $B^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ of Nikol'skii--Besov type and $L^{s\,\mathtt{m}}_{p\,q}(\mathbb{T}^m)$ of Lizorkin--Triebel type. It is also established that the upper estimates in Theorem 1 are order-exact (see Theorem 3).

Keywords: pseudodifferential operator on an $m$-dimensional torus, class of symbols (of product type), Nikol'skii-Besov / Lizorkin-Triebel space of distributions, optimal recovery of an operator class, error bounds of optimal recovery, Fourier width

Received August 9, 2019

Revised November 8, 2019

Accepted November 25, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Ministry of Education and Science of the Republic of Kazakhstan (grant no. AP05133257).

Dauren B. Bazarkhanov, Сand. Sci. (Phys.-Math.), Prof., Institute of Mathematics and Math Modeling, Almaty, 050010 Kazakhstan, e-mail: dauren.mirza@gmail.com

Cite this article as: D.B.Bazarkhanov. Linear recovery of pseudodifferential operators on classes of smooth functions on an m-dimensional torus. II., Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 15–30.