В.В. Арестов. О сопряженности пространства мультипликаторов ... С. 5-14

УДК 517.518+517.982

MSC: 47B38, 54C35

DOI: 10.21538/0134-4889-2019-25-4-5-14

Полный текст статьи (Full text)

Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-01-00336) и Программы повышения конкурентоспособности УрФУ (постановление № 211 Правительства РФ от 16.03.2013, контракт № 02.A03.21.0006 от 27.08.2013).

А. Фига-Таламанка доказал (1965), что пространство $M_r=M_r(G)$ линейных ограниченных  операторов в  пространстве $L_r,$ $1\le r\le\infty,$ на локально компактной группе $G,$   инвариантных относительно сдвига (точнее,  операции группы), является сопряженным пространством для конструктивно описанного им пространства $A_r=A_r(G).$ В данной статье для пространства мультипликаторов $M_r=M_r(\mathbb{R}^m)$ лебегова пространства $L_r(\mathbb{R}^m),$ $1\le r<\infty,$ предъявлено банахово функциональное пространство $F_r=F_r(\mathbb{R}^m)$ с двумя свойствами. Пространство $M_r$ является для $F_r$  сопряженным:  $F^*_r=M_r;$ доказано, что на самом деле $F_r$ совпадает с  $A_r=A_r(\mathbb{R}^m).$  Пространство   $F_r$ описано в других терминах в сравнении с $A_r.$ Пространство $F_r$ возникло и  используется  автором начиная с 1980 года   в исследованиях задачи Стечкина о наилучшем приближении операторов дифференцирования линейными ограниченными операторами в пространствах $L_\gamma(\mathbb{R}^m),$ $1\le \gamma\le\infty.$

Ключевые слова: преддуальное пространство для  пространства мультипликаторов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.   Арестов В.В. Приближение операторов типа свертки линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1980. Т. 145. С. 3–19.

2.   Арестов В.В. Наилучшее приближение неограниченных операторов, инвариантных относительно сдвига, линейными ограниченными операторами // Тр. МИАН. 1992. Т. 198. С. 3–20.

3.   Арестов В.В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, вып. 6. С. 89–124. doi: 10.4213/rm1019 

4.   Arestov V.V. On the best approximation of the differentiation operator // Ural Math. J. 2015. Vol. 1, no. 1. P. 20–29. doi: 10.15826/umj.2015.1.002 

5.   Arestov V.V. Best approximation of a differentiation operator on the set of smooth functions with exactly or approximately given Fourier transform // Mathematical Optimization Theory and Operations Research (MOTOR 2019) / eds. M. Khachay, Y. Kochetov, P. Pardalos. Cham: Springer, 2019. P. 434-448. (Lecture Notes in Computer Science; vol. 11548). doi: 10.1007/978-3-030-22629-9_30 

6.   Данфорд Н., Шварц Дж.Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС, 2004. 896 с.

7.   Fig$\mathrm{\grave{a}}$-Talamanca A. Translation invariant operators in $L^p$ // Duke. Math. J. 1965. Vol. 32. P. 495–502.

8.   Хермандер Л. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига. М.: Изд-во иностр. лит., 1962. 71 с.

9.   Larsen R. An introduction to the theory of multipliers. Berlin etc.: Springer, 1971. 282 p.

10.   Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир, 1975. 443 с.

11.   Стечкин С.Б. Наилучшее приближение линейных операторов // Мат. заметки. 1967. Т. 1, вып. 2. C. 137–148.

12.   Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах. М.: Мир, 1974. 333 с.

Поступила 15.09.2019

После доработки 14.10.2019

Принята к публикации 18.10.2019

Арестов Виталий Владимирович
д-р физ.-мат. наук, профессор
Уральский федеральный университет;
ведущий науч. сотрудник
Институт математики и механики им. Н.Н. Красовского УрО РАН
г. Екатеринбург
e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru

Ссылка на статью: В.В. Арестов. О сопряженности пространства мультипликаторов // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2019. Т. 25, № 4. С. 5-14

English

V.V. Arestov. On the conjugacy of the space of multipliers

A. Fig$\mathrm{\grave{a}}$ Talamanca proved (1965) that the space $M_r=M_r(G)$ of bounded linear operators in the space $L_r$, $1\le r\le\infty$, on a locally compact group $G$ that are translation invariant (more exactly, invariant under the group operation) is the conjugate space for a space $A_r=A_r(G)$, which he described constructively. In the present paper, for the space $M_r=M_r(\mathbb{R}^m)$ of multipliers of the Lebesgue space $L_r(\mathbb {R}^m)$, $1\le r<\infty$, we present a Banach function space $F_r=F_r(\mathbb{R}^m)$ with two properties. The space $M_r$ is conjugate to $F_r$: $F^*_r=M_r$; actually, it is proved that $F_r$ coincides with $A_r=A_r(\mathbb{R}^m)$. The space $F_r$ is described in different terms as compared to $A_r$. This space appeared and has been used by the author since 1975 in the studies of Stechkin's problem on the best approximation of differentiation operators by bounded linear operators in the spaces $L_\gamma(\mathbb{R}^m)$, $1\le\gamma\le\infty$.

Keywords: predual space for the space of multipliers

Received September 15, 2019

Revised October 14, 2019

Accepted October 18, 2019

Funding Agency: This work was supported by the Russian Foundation for Basic Research (project no. 18-01-00336) and by the Russian Academic Excellence Project (agreement no. 02.A03.21.0006 of August 27, 2013, between the Ministry of Education and Science of the Russian Federation and Ural Federal University).

Vitalii Vladimirovich Arestov, Dr. Phys.-Math. Sci., Ural Federal University, Yekaterinburg, 620083 Russia; Krasovskii Institute of Mathematics and Mechanics of the Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Yekaterinburg, 620108 Russia, e-mail: vitalii.arestov@urfu.ru.

Cite this article as: V.V.Arestov. On the conjugacy of the space of multipliers, Trudy Instituta Matematiki i Mekhaniki URO RAN, 2019, vol. 25, no. 4, pp. 5–14.